Utilizzare la definizione di derivata per differenziare le funzioni. Questo tutorial è ben compreso se utilizzato con il file
quoziente di differenza.
\( \)\( \)\( \)\( \)\( \)
La derivata \( f ' \) della funzione \( f \) è definita come
\[
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}
\]
quando esiste questo limite. Quindi, per trovare la derivata dalla sua definizione, dobbiamo trovare il limite del quoziente di differenza come h si avvicina allo zero.
Esempio 1
Utilizzare la definizione di derivata per trovare la derivata della funzione \( f \) definita da
\[
f(x) = m x + b
\]
dove \( m \) e \( b \) sono costanti.
Soluzione dell'esempio 1
Dobbiamo prima calcolare il quoziente di differenza.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\)
Semplificare
\(
= \dfrac{m h}{h} = m
\)
La derivata \( f '\) è data dal limite di \( m \) (che è una costante) come \( {h\to\ 0} \). Quindi
\(
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\)
La derivata di una funzione lineare \( f(x) = m x + b \) è uguale alla pendenza \( m \) del suo grafico che è una retta.
Esempio 2
Utilizza la definizione per trovare la derivata di
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
Soluzione dell'esempio 2
Troviamo innanzitutto il quoziente di differenza
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\)
Espandi le espressioni al numeratore e raggruppa termini simili.
\(
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\)
Semplificare.
\(
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\)
La derivata di \( f(x) = a x^2 + bx + c \) è data dal limite del quoziente di differenza. Quindi
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\)
Esempio 3
Trovare la derivata, utilizzando la definizione, della funzione f data da
\[ f(x) = \sin x\]
Soluzione dell'esempio 3
Calcoliamo innanzitutto il quoziente di differenza
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\)
Utilizza la Domande su somma, differenza e prodotto di formule trigonometriche
\(
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
Riscrivi il quoziente di differenza sopra come segue.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
La derivata è data dal limite del quoziente differenziale. Quindi
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
Utilizzare i teoremi del limite del prodotto di due funzioni per scrivere
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\)
I limiti nel prodotto di cui sopra sono dati da
\( \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \)
e
\( \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \)
La derivata di \( f(x) = \sin x \) è data dal limite del quoziente differenziale. Quindi
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\)
Esempio 4
Utilizzare la definizione per differenziare
\[ f(x) = \sqrt x \]
Esempio 5
Utilizzare la definizione per differenziare
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Soluzione dell'Esempio 5
Il quoziente di differenza è dato da
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\)
Imposta le due espressioni razionali al numeratore sullo stesso denominatore e riscrivi quanto sopra come.
\(
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\)
che semplifica a.
\(
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\)
\(
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\)
La derivata di \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) è data dal limite del quoziente di differenza. Quindi
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\)
