상세한 풀이가 포함된 음함수 미분법 예제들이 제시됩니다.
음함수 미분법 설명
\( y \)가 \( x \)에 대해 명시적으로 주어지면, 미분의 규칙과 공식을 사용하여 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구합니다. 예를 들어, \( y = 2x^3 - 2x + 1 \)인 경우 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 찾는 방법을 알고 있습니다.
그러나 어떤 경우에는 함수가 명시적으로 주어지는 대신, \( y \)와 \( x \)의 항을 포함하는 방정식이 주어지고 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하라는 요청을 받습니다. 예를 들어, \( y \)와 \( x \)를 관계 짓는 방정식 \( xy + y^2 = 1 \)이 주어지고 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하라는 식입니다.
음함수 미분법의 핵심 아이디어는 주어진 방정식의 양변을 \( x \)에 대해 미분한 다음, 새로 얻은 방정식을 풀어서 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하는 것입니다.
음함수 미분법 예제
예제 1
음함수 미분법을 사용하여 \( yx + \sin y = 1 \)일 때 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하세요.
예제 1 풀이
주어진 방정식의 양변을 미분하고 합의 미분법을 사용합니다:
\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]\( \dfrac{d}{dx}[xy] \)에는 곱의 미분법을, \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \)에는 연쇄 법칙을 사용하여 각 항을 미분합니다:
\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]참고: \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \)를 계산할 때, \( y \) 자체가 \( x \)의 함수이므로 연쇄 법칙을 사용했습니다.
\( \dfrac{dy}{dx} \)에 대해 풉니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]예제 2
음함수 미분법을 사용하여 \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)일 때 도함수 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하세요.
예제 2 풀이
주어진 방정식의 좌변에 합의 미분법 공식을 사용합니다:
\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]멱함수 법칙, 곱의 미분법, 연쇄 법칙을 사용하여 각 항을 미분합니다:
\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]\( \dfrac{dy}{dx} \)에 대해 풉니다:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]예제 3
다음 방정식의 그래프 위에서 접선이 직선 \( x + y = 2 \)와 평행한 모든 점을 찾으세요:
\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]예제 3 풀이
주어진 직선 \( x + y = 2 \)를 기울기-절편 형태인 \( y = -x + 2 \)로 다시 쓰고, 기울기가 \( m = -1 \)임을 파악합니다. 접선은 이 직선과 평행하므로 그 기울기 역시 \( -1 \)과 같습니다. 임의의 점에서 접선의 기울기는 \( x^{2} + y^{2} = 4 \)의 음함수 미분법을 통해 구할 수 있습니다:
\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]접점을 \( P(a, b) \)라 합시다. 점 \( P \)에서의 기울기는 \( -1 \)입니다. 위 방정식에서 \( x \)를 \( a \)로, \( y \)를 \( b \)로, \( \dfrac{dy}{dx} \)를 \( -1 \)로 대입하면 다음을 얻습니다:
\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]점 \( P(a, b) \)는 \( x^{2} + y^{2} = 4 \)의 그래프 위에 있으므로:
\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]\( a^2 + b^2 = 4 \)에 \( a = b \)를 대입합니다:
\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]따라서 두 개의 점을 얻습니다:
\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{그리고} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]연습 문제
아래에 주어진 각 방정식에 대해 음함수 미분법을 사용하여 \( \dfrac{dy}{dx} \)를 구하세요:
- \( xe^{y} = 3 \)
- \( x^{2} + y^{2} = 20 \)
- \( x \sin(xy) = x \)
위 연습 문제 정답
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)