미분의 곱의 미분법을 증명하는 단계와 함께 예제, 연습 문제 및 풀이가 제시됩니다.
두 함수의 곱의 도함수 (증명)
함수 \( f(x) \)의 도함수 \( f'(x) \)는 다음과 같이 정의됩니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]함수 \( f(x) \)가 두 함수 \( u(x) \)와 \( v(x) \)의 곱으로 주어진다고 합시다:
\[ f(x) = u(x)v(x) \](1)에 있는 도함수의 정의를 사용하면, \( f(x) = u(x)v(x) \)의 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \](2)의 분자에 동일한 수량(\( u(x)v(x+h) \))을 빼고 더해도 값은 변하지 않습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]분수를 두 부분으로 나눕니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]극한의 성질에 따라 합의 극한은 극한들의 합과 같습니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]인수분해를 사용하여 항들을 다시 씁니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]곱의 극한은 극한들의 곱이므로:
\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]각각의 극한을 구합니다:
- \( \lim_{h \to 0} v(x+h) = v(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} = u'(x) \) (정의 1에 의함)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} = v'(x) \) (정의 1에 의함)
이 극한들을 (7)에 다시 대입하면 다음을 얻습니다:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]풀이 예제
예제 1
다음 함수의 도함수를 구하세요:
a) \( f(x) = x \ln(x) \) b) \( g(x) = \sin(x)e^x \)
예제 1 풀이
a) \( u(x) = x \) 및 \( v(x) = \ln x \)라 합시다. \( f(x) = u(x)v(x) \)로 씁니다.
곱의 미분법 공식 (I)를 사용합니다:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]\( u'(x) = 1 \)이고 \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \)이므로:
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]b) \( w(x) = \sin(x) \) 및 \( z(x) = e^x \)라 합시다. \( g(x) = w(x)z(x) \)로 씁니다.
곱의 미분법 공식 (I)를 사용합니다:
\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]\( w'(x) = \cos(x) \)이고 \( z'(x) = e^x \)이므로:
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]예제 2
다음 함수의 도함수를 계산하세요:
\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]예제 2 풀이
함수 \( h(x) \)는 세 함수의 곱입니다. \( u = 2x + 3 \), \( v = \cos(x) \), \( w = \ln x \)라 하면 \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \)가 됩니다.
세 함수에 대한 곱의 미분법을 적용합니다:
\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]각각의 도함수를 구합니다:
\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]이 식들을 공식에 대입합니다:
\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]연습 문제
함수들의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
- \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
- \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
위 연습 문제 정답
- \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
- \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
- \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)