응용 예제와 상세한 풀이가 포함된 정리 형태의 극한 성질을 제시합니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
극한의 정리 및 성질
정리: \( f \)와 \( g \)가 두 함수이고 \( \lim_{x \to a} f(x) \)와 \( \lim_{x \to a} g(x) \)가 모두 존재할 때, 다음이 성립합니다:
성질 1: 두 함수의 합의 극한은 각 극한의 합과 같습니다.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]성질 2: 두 함수의 차의 극한은 각 극한의 차와 같습니다.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]성질 3: 두 함수의 곱의 극한은 각 극한의 곱과 같습니다.
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]성질 4: 분모의 극한이 0이 아닌 경우, 두 함수의 몫의 극한은 각 극한의 몫과 같습니다.
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{단,} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]성질 5: 함수의 n제곱근의 극한은 그 극한의 n제곱근과 같습니다 (단, 극한의 n제곱근이 실수인 경우).
\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]\( n \)이 짝수이면 \( \lim_{x \to a} f(x) \)는 양수이어야 합니다.
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하면 상세한 단계별 풀이를 볼 수 있습니다.
예제 1
\( h(x) = x + 5 \)일 때, \( \lim_{x \to -2} h(x) \)를 구하시오.
예제 1 풀이 보기
\( h(x) \)를 \( f(x) = x \)와 \( g(x) = 5 \)의 합으로 보고 위 정리 1을 적용합니다:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]\( x \)와 \( 5 \)는 기본 함수이며 그 극한이 알려져 있습니다:
\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]따라서:
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]예제 2
\( h(x) = x - 7 \)일 때, \( \lim_{x \to 10} h(x) \)를 구하시오.
예제 2 풀이 보기
\( h(x) \)를 \( f(x) = x \)와 \( g(x) = 7 \)의 차로 보고 위 정리 2를 적용합니다:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]\( x \)와 \( 7 \)은 극한이 알려진 기본 함수입니다:
\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]따라서:
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]예제 3
\( m(x) = 3x \)일 때, \( \lim_{x \to -5} m(x) \)를 구하시오.
예제 3 풀이 보기
\( m(x) = f(x) \times g(x) \) (여기서 \( f(x) = 3 \), \( g(x) = x \))로 놓고 위 정리 3을 적용합니다:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]3은 상수함수이고 \( x \)는 극한이 알려진 기본 함수입니다:
\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]따라서:
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]예제 4
\( r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \)일 때, \( \lim_{x \to 3} r(x) \)를 구하시오.
예제 4 풀이 보기
\( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \) (여기서 \( f(x) = 3 - x \), \( g(x) = x \))로 놓고 위 정리 4를 적용합니다:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]\( 3 - x \)는 두 기본 함수의 차이고 \( x \)는 기본 함수입니다:
\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{and} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]따라서:
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]예제 5
\( m(x) = \sqrt{2x - 1} \)일 때, \( \lim_{x \to 5} m(x) \)를 구하시오.
예제 5 풀이 보기
\( f(x) = 2x - 1 \)이라 하고 위 차와 곱의 정리를 적용하여 극한을 구합니다:
\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]9의 제곱근이 실수이므로 이제 정리 5를 적용합니다:
\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]