곱의 미분법으로부터 미분의 몫의 미분법을 증명하는 단계와 함께 예제, 연습 문제 및 풀이가 제시됩니다.
두 함수의 몫의 도함수 (증명)
함수 \( f(x) \)가 두 함수 \( u(x) \)와 \( v(x) \)의 몫으로 주어진다고 합시다:
\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]위 식의 양변에 \( v(x) \)를 곱하고 간소화합니다:
\[ f(x)v(x) = u(x) \]양변을 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]좌변에 곱의 미분법을 적용합니다:
\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]\( f'(x) \)에 대해 방정식을 풉니다:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \](1)에 주어진 대로 \( f(x) \)를 \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \)로 대체합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]분자에 공통분모를 적용하여 다시 쓰고 간소화합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]풀이 예제
예제 1
다음 함수의 도함수를 구하세요:
a) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
예제 1 풀이
a) \( u(x) = x \) 및 \( v(x) = \ln x \)라 합시다. \( f(x) = \dfrac{u}{v} \)로 씁니다.
몫의 미분법 (I)를 사용합니다:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]\( u'(x) = 1 \)이고 \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \)이므로:
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]b) \( w(x) = \sin x \) 및 \( z(x) = \cos x \)라 합시다. \( g(x) = \dfrac{w}{z} \)로 씁니다.
몫의 미분법 (I)를 사용합니다:
\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]\( w'(x) = \cos x \)이고 \( z'(x) = -\sin x \)이므로:
\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]항등식 \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \)을 사용합니다:
\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]예제 2
다음 함수의 도함수를 계산하세요:
\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]예제 2 풀이
\( u(x) = x \ln x \) 및 \( v(x) = \sin x \, e^x \)라 합시다. \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \)로 씁니다.
몫의 미분법 (I)를 사용합니다:
\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]곱의 미분법을 사용하여 \( u'(x) \)를 계산합니다:
\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]곱의 미분법을 사용하여 \( v'(x) \)를 계산합니다:
\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \](4)에 대입합니다:
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]\( e^x \)를 인수분해하여 약분합니다:
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]연습 문제
함수들의 도함수를 구하세요:
- \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
- \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
- \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
위 연습 문제 정답
- \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
- \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)