뉴턴의 방법은 일차 도함수를 사용하여 함수의 영점을 근사하는 수치적 기법입니다. 아래는 그 적용을 보여주는 상세한 예제입니다. 이 뉴턴의 방법 계산기를 사용하여 결과를 확인할 수 있습니다.
뉴턴의 방법 공식
뉴턴(또는 뉴턴-랩슨) 방법은 다음 순환 공식을 기반으로 합니다:
함수의 영점 근처에서 시작점을 선택하는 것으로 시작합니다. 그런 다음 위의 공식을 사용하여 반복합니다. 이 방법은 널리 사용되며 대부분의 프로그래밍 언어에서 쉽게 구현할 수 있습니다.
풀이된 예제
예제 1: \( f(x) = x^2 + 3x + 1 \)의 가장 큰 영점 근사하기
이 이차 함수의 영점은 해석적으로 구할 수 있지만, 비교를 위해 뉴턴의 방법을 사용하겠습니다. \( f \)의 그래프를 그려보면 두 개의 음수 영점이 관찰됩니다. 더 큰 영점은 0에 더 가깝습니다. 초기 근사값으로 \( x_0 = 0 \)을 취해 봅시다.
도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 2x + 3 \]\( x_0 = 0 \)에서 시작:
\[ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 0 - \frac{0^2 + 3(0) + 1}{2(0) + 3} = -\frac{1}{3} \] \[ x_2 = -\frac{1}{3} - \frac{f(-1/3)}{f'(-1/3)} \approx -0.38095238 \] \[ x_3 \approx -0.38196555, \quad x_4 \approx -0.38196601, \quad x_5 \approx -0.38196601 \]근의 공식을 사용한 정확한 근과 비교해 보세요: \[ z_2 = \frac{-3 + \sqrt{5}}{2} \approx -0.38196601125\ldots \] 뉴턴의 방법은 소수점 아래 8자리까지 정확도를 제공합니다.
정확도 확인: \[ f(x_5) \approx 2.8 \times 10^{-9} \] 이는 \( x_5 \)가 매우 정확한 근사값임을 확인시켜 줍니다.
참고: 예제 1은 뉴턴의 근사값과 정확한 해를 비교하기 위해 선택되었습니다. 뉴턴의 방법은 다음 예제들처럼 해석적 해가 없는 방정식에 가장 유용합니다.
예제 2: \( e^{x-3} = -x + 2 \) 풀기
방정식을 다음과 같이 다시 씁니다:
\[ f(x) = e^{x - 3} + x - 2 = 0 \]그러면:
\[ f'(x) = e^{x - 3} + 1 \]그래프는 \( x = 2 \) 근처에 영점이 있음을 시사하므로, \( x_0 = 2 \)라고 합시다. 그러면:
\[ x_1 = 2 - \frac{e^{-1}}{e^{-1} + 1} \approx 1.73105857 \] \[ x_2 \approx 1.72154537, \quad x_3 \approx 1.72153545, \quad x_4 \approx 1.72153545 \]소수점 8자리까지 \( x_4 = x_3 \)이므로 과정이 멈춥니다.
검증:
\[ f(x_4) \approx -9.3 \times 10^{-9} \] \[ \text{좌변: } e^{x_4 - 3} \approx 0.278464540 \quad \text{우변: } -x_4 + 2 \approx 0.278464550 \]따라서 \( x_4 = 1.72153545 \)는 훌륭한 근사값입니다.
예제 3: \( \sqrt[3]{5} \) 근사하기
5의 세제곱근은 \( x = \sqrt[3]{5} \Rightarrow x^3 = 5 \), 즉 다음을 만족하는 근을 구하는 것입니다:
\[ f(x) = x^3 - 5 = 0, \quad f'(x) = 3x^2 \]그래프에서 좋은 시작점은 \( x_0 = 2 \)입니다.
\[ x_1 = 2 - \frac{2^3 - 5}{3 \cdot 2^2} = 1.75 \] \[ x_2 = 1.71088435, \quad x_3 = 1.70997642, \quad x_4 = x_5 = 1.70997594 \]따라서 \( \sqrt[3]{5} \approx 1.70997594 \)입니다.
