\( \csc x \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구합니다:

\[ \int \csc x \, dx \]

참고: 위 적분을 계산하는 방법에는 여러 가지가 있습니다. 아래에 설명된 단계들을 통해 삼각함수와 적분 계산에 대한 다양한 아이디어를 복습할 수 있으며, 최종 결과 또한 매우 간단합니다.

\( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \)를 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

\( \sin x \)는 배각 공식을 사용하여 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

삼각함수 항등식 \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \)을 사용하여 변형합니다:

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

이를 적분에 대입합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

치환적분을 사용합니다: \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)로 놓으면 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) 또는 \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \)가 됩니다. 적분에 대입합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

식을 정리합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)을 사용하여 다음과 같이 씁니다:

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

적분에 대입합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

부분분수 분해를 사용하여 피적분 함수를 다음과 같이 씁니다:

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

적분에 다시 대입하고 분리합니다:

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

적분 공식 \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \)을 사용합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

로그의 성질(\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) 및 \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \))을 사용하여 로그 표현식을 정리합니다:

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

\( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \)이므로:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

\( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)를 다시 대입합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

삼각함수 항등식 \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \)을 사용합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

\( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \)을 사용하여 정리합니다:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

삼각함수 항등식 \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \)과 절대값 성질을 사용하여 최종 해답을 적습니다: