\( \sec x \)의 적분

유도 및 평가

다음 적분을 구합니다:

\[ \int \sec x \, dx \]

\( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \)를 사용하여 적분식을 다시 씁니다:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

우측 피적분 함수의 분모와 분자에 모두 \( \cos x \)를 곱합니다:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

분모에 삼각함수 항등식 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \)을 적용하여 다음과 같이 씁니다:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

치환적분을 사용합니다: \( u = \sin x \)로 놓으면 \( du = \cos x \, dx \)가 됩니다. 적분식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

부분분수 분해를 사용하여 피적분 함수를 다음과 같이 씁니다:

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

이를 적분에 대입합니다:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

적분 공식 \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \)을 사용하여 얻습니다:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

성질 \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \)을 사용하여 로그 표현식을 정리합니다:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

\( u = \sin x \)를 다시 대입합니다: