평균값 정리는 미적분학에서 가장 중요한 정리 중 하나입니다. 여기서는 예제와 그래프를 통해 다룹니다. 이 튜토리얼을 마친 후 평균값 정리와 관련된 문제를 풀어볼 수 있습니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
평균값 정리
함수 \( f(x) \)가 닫힌구간 \( [a, b] \)에서 연속인 함수이고 열린구간 \( (a, b) \)에서 미분가능하다고 합시다. 그러면 구간 \( (a, b) \) 안에 다음을 만족하는 \( x \)의 값 \( c \)가 적어도 하나 존재합니다:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]또는
\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]다시 말해, \( c \)에서 \( f \)의 그래프에 대한 접선과 점 \( (a, f(a)) \) 및 \( (b, f(b)) \)를 지나는 할선은 기울기가 같으므로 서로 평행합니다.
평균값 정리 응용 예제
각 예제를 클릭하여 단계별 상세 풀이를 확인하세요.
예제 1
평균값 정리를 사용하여, 구간 \( [1, 5] \)에서 곡선 \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) 위의 점 \( (c, f(c)) \)에서의 접선이 점 \( (1, f(1)) \) 및 \( (5, f(5)) \)를 지나는 할선과 평행하도록 하는 \( x \)의 값 \( c \)를 찾으세요.
예제 1 풀이 보기
점 \( (c, f(c)) \)에서의 접선 기울기는 다음과 같이 주어집니다:
\[ f'(c) \]여기서 \( f' \)은 도함수입니다. 점 \( (1, f(1)) \)과 \( (5, f(5)) \)를 지나는 할선의 기울기는 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]접선이 할선과 평행하려면 기울기가 같아야 하므로, 다음이 성립합니다:
\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]함수 \( f \)는 다항(이차) 함수이므로 구간 \( [1, 5] \)에서 연속이자 미분가능합니다. 따라서 평균값 정리에 의해 위 등식을 만족하는 \( x (= c) \)의 값이 적어도 하나 존재함을 알 수 있습니다.
첫 번째 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = -2x + 7 \]\( x = c \)에서의 곡선 접선의 기울기 \( m_1 \)은 다음과 같습니다:
\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]점 \( (1, f(1)) \)과 \( (5, f(5)) \)를 지나는 할선의 기울기 \( m_2 \)는 다음과 같습니다:
\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]\( m_1 = m_2 \)로 놓으면 다음 방정식을 얻습니다:
\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]그래프로 정답 확인하기:
\( x = c \)에서의 접점은 \( (3, f(3)) = (3, 6) \)으로 주어집니다.
접선의 방정식:
\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]아래의 그림 2에는 주어진 함수의 그래프와 \( f \) 곡선 접선의 그래프가 나와 있습니다. 접선과 할선은 기울기가 같으므로 서로 평행합니다.
참고: 아래 예제 2에서 볼 수 있듯이, 평균값 정리를 만족하는 \( x (= c) \)의 값은 하나 이상일 수 있습니다.
예제 2
평균값 정리를 사용하여, 구간 \( [0, 3] \)에서 곡선 \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) 위의 점 \( (c, f(c)) \)에서의 접선이 점 \( (0, f(0)) \) 및 \( (3, f(3)) \)을 지나는 할선과 평행하도록 하는 모든 \( x \)의 값 \( c \)를 찾으세요.
예제 2 풀이 보기
함수 \( f \)는 다항함수이므로 구간 \( [0, 3] \)에서 연속이자 미분가능합니다. 따라서 평균값 정리에 의해 \( x = c \)에서의 \( f \) 곡선 접선과 할선이 평행하고 그 기울기가 같도록 하는 \( x (= c) \)의 값이 적어도 하나 존재함을 알 수 있습니다.
첫 번째 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]\( x = c \)에서의 접선 기울기 \( m_1 \)은 다음과 같습니다:
\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]점 \( (0, f(0)) \)과 \( (3, f(3)) \)을 지나는 할선의 기울기 \( m_2 \)는 다음과 같습니다:
\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]\( x = c \)에서의 곡선 접선과 점 \( (0, f(0)) \), \( (3, f(3)) \)을 지나는 할선이 평행하려면 기울기가 같아야 합니다:
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]이는 다음과 같이 정리할 수 있습니다:
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]근의 공식을 사용하여 두 해를 구합니다:
\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]소수점 근사값을 계산합니다:
\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.78 \quad \text{and} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.55 \]그래프로 정답 확인하기:
아래 그림 3에는 주어진 함수의 그래프와 점 \( A(0, f(0)) \), \( B(3, f(3)) \)을 지나는 할선에 평행한 \( f \) 곡선의 두 접선 그래프가 나와 있습니다.
