상세한 풀이가 포함된 평균값 정리 관련 문제가 제공됩니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
평균값 정리: 복습
함수 \( f \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속이고 \( (a, b) \)에서 미분가능하다면, 구간 \( (a, b) \) 안에 다음을 만족하는 실수 \( c \)가 적어도 하나 존재합니다:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]평균값 정리는 \( x = c \)에서의 곡선 접선의 기울기와 점 \( (a, f(a)) \) 및 \( (b, f(b)) \)를 지나는 곡선의 할선 기울기 사이의 관계를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 문제
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문제 1
다음 함수에 대해 평균값 정리가 성립하도록 하는 \( c \)의 값을 찾으세요:
\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]구간 \( [-2, 2] \)에서.
문제 1 풀이 보기
\( f(x) \)는 다항함수이므로 모든 실수에서 연속이며 미분가능합니다. \( x = -2 \)와 \( x = 2 \)일 때의 \( f(x) \) 값을 계산해 봅시다:
\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \] \[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = -6 \]\( \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \)를 계산합니다:
\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-6 - 2}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]이제 \( f'(x) \)를 구합니다:
\[ f'(x) = -6x^2 + 6 \]\( f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \)를 바탕으로 방정식을 세웁니다:
\[ -6c^2 + 6 = -2 \]\( c \)에 대해 풀어서 2개의 해를 구합니다:
\[ -6c^2 = -8 \implies c^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \] \[ c = \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]아래는 함수 \( f \)의 그래프, 할선, 그리고 구한 두 해에 대응하는 두 접선을 나타낸 것입니다. 평균값 정리에 따라 할선과 두 접선은 기울기가 같으므로 서로 평행합니다.
문제 2
평균값 정리를 이용하여 임의의 두 실숫값 \( a \)와 \( b \)에 대해 다음이 성립함을 증명하세요:
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]문제 2 풀이 보기
함수 \( f(x) = \cos x \)는 모든 실수에서 연속이고 미분가능합니다. \( a \)와 \( b \) 사이의 구간에서 평균값 정리를 적용합니다 (단, \( a \neq b \) 가정):
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = f'(c) \]여기서 \( c \)는 \( a \)와 \( b \) 사이에 존재합니다. \( f'(x) = -\sin x \)이므로 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = -\sin c \]양변에 절대값을 취합니다:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| = |-\sin c| = |\sin c| \]임의의 실수 \( c \)에 대해 \( |\sin c| \le 1 \)이므로 다음이 성립합니다:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| \le 1 \]절대값의 성질 \( \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} \)에 따라:
\[ \dfrac{|\cos a - \cos b|}{|a - b|} \le 1 \]양변에 \( |a - b| \)를 곱하면 다음을 얻습니다:
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]참고: \( a = b \)인 경우, \( 0 \le 0 \)이 되므로 부등식이 자명하게 성립합니다.