롤의 정리 질문 및 예제

롤의 정리

롤의 정리는 평균값 정리의 직접적인 결과로서, \( f(x) \)가 구간 \( [a, b] \)에서 연속인 함수이고 열린구간 \( (a, b) \)에서 미분가능하다는 조건 하에 다음을 만족하는 \( x \)의 값 \( c \)가 적어도 하나 존재합니다:

이제 조건 \( f(a) = f(b) \)까지 만족된다면, 위 식은 다음과 같이 간단해집니다: \( f'(c) = 0 \).

다시 말해, 이 세 가지 조건 하에서는 항상 기울기가 수평인(\( f'(c) = 0 \)) \( f \) 곡선의 접선을 찾을 수 있습니다.

상세 풀이가 포함된 예제

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예제 1

\( 1 \le x \le 5 \)에 대한 \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \)의 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( f(1) = f(5) = -1 \)이고 \( f \)는 \( [1, 5] \)에서 연속이며 \( (1, 5) \)에서 미분가능하므로, 롤의 정리에 따라 \( f'(c) = 0 \)을 만족하는 \( x = c \)의 값이 적어도 하나 존재합니다.

예제 1 풀이 보기

\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

위 방정식을 풀어서 다음을 얻습니다:

\[ c = 3 \]

따라서 아래 그림 1과 같이 \( x = 3 \)에서 기울기가 0인(수평선) \( f \) 그래프의 접선이 존재합니다.

예제 2

\( 0 \le x \le 2\pi \)에 대한 \( f(x) = \sin(x) + 2 \)의 그래프가 아래에 나와 있습니다. \( f(0) = f(2\pi) = 2 \)이고 \( f \)는 \( [0, 2\pi] \)에서 연속이며 \( (0, 2\pi) \)에서 미분가능하므로, 롤의 정리에 따라 \( f'(c) = 0 \)을 만족하는 \( x = c \)의 값(둘 이상일 수도 있습니다!)이 적어도 하나 존재합니다.

예제 2 풀이 보기

\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

위 방정식은 구간 \( [0, 2\pi] \)에서 두 개의 해를 갖습니다:

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{and} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

따라서 아래 그림 2와 같이 \( x = \dfrac{\pi}{2} \)와 \( x = \dfrac{3\pi}{2} \) 모두에서 기울기가 0인(수평선) 그래프의 접선들이 존재합니다.

예제 3

그림 3의 함수 \( f \)는 롤의 정리를 만족하지 않습니다. 비록 연속이고 \( f(-1) = f(3) \)이지만, 함수가 \( x = 1 \)에서 미분가능하지 않으므로 구간 \( (-1, 3) \) 안에서 \( c \)에 대한 \( f'(c) = 0 \)이 보장되지 않습니다. 실제로 구간 \( (-1, 3) \)에서 \( f \) 그래프에 대한 수평 접선이 존재하지 않음을 쉽게 알 수 있습니다.

풀이가 포함된 연습문제

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질문 1

아래 제시된 함수 중 롤의 정의의 세 가지 조건을 모두 만족하는 것은 무엇인가요?

a) \( f(x) = \cos(x) \), 구간 \( [0, 2\pi] \)에서
b) \( g(x) = |x - 2| \), 구간 \( [0, 4] \)에서
c) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \), 구간 \( [-1, 1] \)에서
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), 구간 \( [0, 2\pi] \)에서

질문 1 풀이 보기

a) \( f(0) = 1 \)이고 \( f(2\pi) = 1 \)이므로 \( f(0) = f(2\pi) \)입니다. \( f \)는 \( [0, 2\pi] \)에서 연속이고 \( (0, 2\pi) \)에서 미분가능합니다. 함수 \( f \)는 롤의 정의의 모든 조건을 만족합니다.

b) 함수 \( g \)는 \( x = 2 \)에 꼭짓점이 있는 V자형 그래프를 가지며 따라서 \( x = 2 \)에서 미분가능하지 않습니다. 함수 \( g \)는 롤의 정의의 모든 조건을 만족하지 않습니다.

c) 함수 \( h \)는 \( x = 0 \)에서 정의되지 않습니다. 함수 \( h \)는 롤의 정의의 모든 조건을 만족하지 않습니다.

d) \( x \)가 \( [0, 2\pi] \)일 때 \( k(x) = |\sin(x)| \)입니다. 함수 \( k \)의 그래프는 아래와 같으며 함수 \( k \)가 \( x = \pi \)에서 미분가능하지 않음을 보여줍니다. 함수 \( k \)는 롤의 정의의 모든 조건을 만족하지 않습니다.

질문 2

구간 \( [1, 3] \)에서 함수 \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)이 롤의 정의의 모든 조건을 만족하는지 확인하고, \( f'(c) = 0 \)이 되도록 하는 모든 \( x = c \)의 값을 찾으세요.

질문 2 풀이 보기

\( f \)는 다항함수이므로 구간 \( [1, 3] \)에서 연속이고 구간 \( (1, 3) \)에서 미분가능합니다. 또한 \( f(1) = f(3) = 0 \)이므로 함수 \( f \)는 롤의 정의의 세 가지 조건을 모두 만족하여 \( f'(c) = 0 \)을 만족하는 \( x = c \)의 값이 적어도 하나 존재함을 보장합니다.

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

아래 그래프는 \( f \)를 보여주며, \( x = c = 2 \)에서의 접선은 \( f'(2) = 0 \)으로 수평입니다.

질문 3

구간 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \)에서 함수 \( g(x) = \cos(x) \)가 롤의 정의의 모든 조건을 만족하는지 확인하고, \( g'(c) = 0 \)이 되도록 하는 모든 값 \( x = c \)를 찾으세요.

질문 3 풀이 보기

함수 \( g \)는 코사인 함수이므로 구간 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \)에서 연속이고 구간 \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \)에서 미분가능합니다. 또한:

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

따라서 함수 \( g \)는 롤의 정의의 세 가지 조건을 모두 만족하며 \( g'(c) = 0 \)인 \( x = c \)의 값이 적어도 하나 존재합니다.

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

구간 \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \)에서의 해는 다음과 같습니다:

\[ c_1 = 0 \quad \text{and} \quad c_2 = \pi \]

아래 그래프는 \( g \)를 보여주며 \( x = c_1 = 0 \) 및 \( x = c_2 = \pi \)에서의 접선은 \( g'(0) = 0 \) 및 \( g'(\pi) = 0 \)으로 수평입니다.

더 많은 참고 자료 및 링크

• 평균값 정리 관련 문제
• 미적분학의 연속함수
• 미분가능하지 않은 함수
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