단계별 예제와 상세 풀이를 통해 테일러 급수 전개를 이용한 극한 계산을 마스터하세요.
이하에서 \( C \)는 해당하는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 문제
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문제 1
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \)을 구하세요.
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극한 \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \)을 구하기 위해 테일러 급수 전개를 사용합니다.
코사인 함수의 인수를 전개합니다:
\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]작은 \( x \)에 대하여, 이를 \( \theta = x + x^3 \)으로 근사합니다.
테일러 급수를 사용하여 \( \cos(\theta) \)를 전개합니다:
\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]\( x^4 \) 항까지 \( \theta^2 \)와 \( \theta^4 \)를 계산합니다:
\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \] \[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]코사인 전개식에 이들을 대입합니다:
\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]항들을 정리합니다:
\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]원래 식의 분자에 이를 다시 대입합니다:
\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]정리합니다:
\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]정리된 분자를 분모 \( x^4 \)로 나누고 약분합니다:
\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]따라서 극한값은 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24} } \]문제 2
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) \)을 구하세요.
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극한 \( \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right) \)을 구하기 위해 삼각함수 항등식과 테일러 급수 전개를 사용합니다.
삼각함수 항등식을 사용하여 식을 다시 씁니다:
\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]따라서 식은 다음과 같이 변환됩니다:
\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]테일러 급수를 사용하여 \( \cos x \)와 \( \sin x \)를 전개합니다:
\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \] \[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]위 전개식들을 제곱합니다:
\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]이 전개식들을 식에 대입합니다:
\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]정리합니다:
\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]전개하고 정리합니다:
\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]\( \dfrac{2}{x^2} \)를 뺍니다:
\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]\( x \to 0 \)일 때의 극한을 취합니다:
\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]따라서 극한값은 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{3} } \]문제 3
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \)을 구하세요.
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극한 \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \)을 구하기 위해 테일러 급수 전개를 사용합니다.
테일러 급수를 사용하여 분자를 전개합니다:
\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]두 식을 뺍니다:
\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]테일러 급수를 사용하여 분모의 괄호 안의 식들을 전개합니다:
\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]\( x \)를 곱하여 전체 분모를 구합니다:
\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]극한 비율을 구성합니다:
\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]따라서 극한값은 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3} } \]참고: 이 극한은 분자와 분모를 세 번 미분하는 로피탈의 정리를 사용해서 풀 수도 있습니다.
문제 4
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \)을 구하세요.
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테일러 급수 전개를 사용하여 극한 \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \)을 구합니다.
유리수 거듭제곱에 대한 이항 전개는 다음과 같습니다:
\[ (1 + \epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \cdots \]이항 전개를 사용하여 \( \sqrt{x^2 + 1} \)을 전개합니다:
\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1 + x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]\( x \)를 빼고 자연로그를 취합니다:
\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]테일러 급수를 사용하여 로그를 전개합니다:
\[ \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]분자에 있는 \( x \) 항과 결합합니다:
\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + \left(-x + \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{6} \]정리된 분자를 분모 \( x^3 \)으로 나눕니다:
\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]따라서 극한값은 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} = \dfrac{1}{6} } \]참고: 이 극한은 분자와 분모를 세 번 미분하는 로피탈의 정리를 사용해서 풀 수도 있습니다.
문제 5
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \)을 구하세요.
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극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \)을 다음과 같이 구합니다:
구하고자 하는 극한을 \( L \)이라고 합시다:
\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]지수를 단순화하기 위해 양쪽에 자연로그를 취합니다:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]우변을 정리합니다:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]\( x = 0 \) 주위에서 테일러 급수를 사용하여 \( \sin x \)를 전개합니다:
\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]작은 \( y \)에 대해 \( \ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots \)를 사용하여 로그를 근사합니다:
\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]근사값을 극한에 대입합니다:
\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]결과를 지수화하여 \( L \)을 구합니다:
\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]최종 결과:
\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]문제 6
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \)을 구하세요.
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극한 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \)을 구하기 위해 \( \sin x \)와 \( \cos x \)에 대한 테일러 급수 전개를 사용합니다.
테일러 급수 전개:
\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots \] \[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots \]\( \cos(\sin x) \)를 전개합니다:
\( \theta = \sin x \)인 \( \cos(\theta) \)의 테일러 급수에 \( \sin x \)를 대입합니다:
\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]\( \theta = x - \dfrac{x^3}{6} \)을 사용하여 \( \cos(\theta) \)를 전개합니다:
\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]\( x^4 \) 항까지 \( \theta^2 \)와 \( \theta^4 \)를 계산합니다:
\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \] \[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]이들을 \( \cos(\theta) \) 전개식에 대입합니다:
\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]\( \cos(\sin x) \)에서 \( \cos x \)를 뺍니다:
\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots \]전개식들을 뺍니다:
\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]\( x^4 \)로 나누고 극한을 취합니다:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]따라서 극한값은 다음과 같습니다:
\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6} } \]