절댓값 함수의 극한을 구하는 방법; 그래픽적 해석과 함께 여러 예제와 상세 풀이가 제시됩니다. 페이지 하단에는 정답이 포함된 연습 문제 세트가 있습니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 문제
각 문제를 클릭하면 상세한 단계별 풀이를 볼 수 있습니다.
문제 1
극한을 구하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} \)
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극한을 구하는 단계는 다음과 같습니다:
\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{-1}{|-1|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \]문제 2
극한을 계산하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} \)
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극한을 구하는 단계는 다음과 같습니다:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{1}{|1|} = 1 \]문제 3
극한을 구하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \)
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다음 성질을 상기하세요:
\( x \ge 0 \)일 때 \( |x| = x \)이고 \( x < 0 \)일 때 \( |x| = -x \)
\( x < 0 \)이므로 \( |x| = -x \)인 \( x = 0 \)의 왼쪽에서 극한을 계산해 봅시다:
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1 \]\( x > 0 \)이므로 \( |x| = x \)인 \( x = 0 \)의 오른쪽에서 극한을 계산해 봅시다:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \]\( x = 0 \)에서의 좌극한과 우극한이 서로 같지 않으므로:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \quad \text{존재하지 않음} \]\( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \)의 그래프는 아래와 같으며, 0에서의 좌극한과 우극한이 같지 않음을 보여줍니다.
문제 4
극한을 계산하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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\( x \)가 한없이 증가할 때, \( x > 0 \)이므로 \( |x| = x \)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]문제 5
극한을 구하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} \)
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\( x \)가 한없이 감소할 때, \( x < 0 \)이므로 \( |x| = -x \)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \]문제 6
극한 \( \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \)은 존재하나요?
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\( -2 \)의 왼쪽(\( x \le -2 \))과 오른쪽(\( x \ge -2 \))에서의 극한을 각각 계산해 봅시다.
다음 성질을 상기하세요:
\( x + 2 \ge 0 \) 즉 \( x \ge -2 \)이면, \( |x + 2| = x + 2 \)입니다.
\( x + 2 \le 0 \) 즉 \( x \le -2 \)이면, \( |x + 2| = -(x + 2) \)입니다.
\( x = -2 \)의 왼쪽에서의 극한을 계산합니다:
\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-1) = -1 \]\( x = -2 \)의 오른쪽에서의 극한을 계산합니다:
\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]\( x = -2 \)에서의 좌극한과 우극한이 서로 같지 않으므로:
\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \quad \text{존재하지 않음} \]문제 7
극한을 구하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)
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\( x = 1 \)에서 분자와 분모가 모두 0이므로 공통인수 \( x - 1 \)을 가집니다. 분자를 인수분해합니다:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{|x - 1|} \]\( x \ge 1 \)일 때 \( |x - 1| = x - 1 \)이고 \( x \le 1 \)일 때 \( |x - 1| = -(x - 1) \)임을 상기하세요.
\( x = 1 \)의 왼쪽에서의 극한:
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]\( x = 1 \)의 오른쪽에서의 극한:
\[ \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]좌극한과 우극한이 서로 같지 않으므로:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \quad \text{존재하지 않음} \]\( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)의 그래프는 아래와 같으며, 1에서의 좌극한과 우극한이 같지 않음을 명확히 보여줍니다.
문제 8
극한을 계산하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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\( x \)가 한없이 증가할 때, \( x + 2 \) 역시 한없이 증가하므로 \( x + 2 \ge 0 \)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} = +\infty \]문제 9
극한을 구하시오: \( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
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\( x \)가 한없이 감소할 때, \( x + 2 \) 역시 한없이 감소하므로 \( x + 2 \le 0 \)입니다. 따라서:
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{-(x + 2)} = +\infty \]\( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)의 그래프는 아래와 같으며, \( x \)가 한없이 증가하거나 감소할 때 \( y = f(x) \)가 한없이 증가함을 보여줍니다.
연습 문제
다음 극한을 구하시오. 각 연습 문제를 클릭하여 정답을 확인할 수 있습니다.
연습 문제 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{|x|} \)
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연습 문제 2
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^-} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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연습 문제 3
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^+} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
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연습 문제 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} \)