다변수 함수의 임계점은 이 함수의 1계 편도함수가 모두 0이 되는 점입니다. 두 변수를 가진 함수의 임계점을 찾는 방법에 대한 상세한 풀이가 포함된 예제들이 제시됩니다.
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이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 단계별 상세 풀이를 확인하세요.
예제 1
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = x^2 + y^2 \]예제 1 풀이 보기
먼저 1계 편도함수를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = 2y \]이제 방정식 \( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 풉니다:
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ 2y = 0 \implies y = 0 \]위 연립방정식의 해는 순서쌍 \( (0, 0) \)입니다.
아래는 \( f(x, y) = x^2 + y^2 \)의 그래프로, 임계점 \( (0, 0) \)에서 \( f \)가 최솟값을 가짐을 보여줍니다.
예제 2
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = x^2 - y^2 \]예제 2 풀이 보기
함수 \( f \)의 1계 편도함수를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = 2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]방정식 \( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 풉니다:
\[ 2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]해는 순서쌍 \( (0, 0) \)입니다.
\( f(x, y) = x^2 - y^2 \)의 그래프가 아래에 나와 있습니다. 이 곡면은 \( y \) 방향으로는 아래로, \( x \) 방향으로는 위로 굽어 있습니다. \( f \)는 \( (0, 0) \)에서 정지하지만 극값(최댓값 또는 최솟값)은 없습니다. \( (0, 0) \) 근처의 곡면이 말안장과 닮았기 때문에 \( (0, 0) \)을 안장점(saddle point)이라고 부릅니다.
예제 3
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = -x^2 - y^2 \]예제 3 풀이 보기
먼저 1계 편도함수를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = -2x \] \[ f_y(x, y) = -2y \]이제 \( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 풉니다:
\[ -2x = 0 \implies x = 0 \] \[ -2y = 0 \implies y = 0 \]해는 순서쌍 \( (0, 0) \)입니다.
\( f(x, y) = -x^2 - y^2 \)의 그래프는 아래와 같으며 상대 극댓값을 보여줍니다.
예제 4
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = x^3 + 3x^2 - 9x + y^3 - 12y \]예제 4 풀이 보기
1계 편도함수는 다음과 같습니다:
\[ f_x(x, y) = 3x^2 + 6x - 9 \] \[ f_y(x, y) = 3y^2 - 12 \]이제 방정식 \( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 풉니다:
\[ 3x^2 + 6x - 9 = 0 \implies 3(x + 3)(x - 1) = 0 \implies x = -3 \text{ or } x = 1 \] \[ 3y^2 - 12 = 0 \implies 3(y^2 - 4) = 0 \implies y = -2 \text{ or } y = 2 \]\( x \)와 \( y \)의 가능한 모든 조합을 결합하면 임계점은 다음과 같습니다:
\[ (1, 2), \; (1, -2), \; (-3, 2), \; (-3, -2) \]연습문제
아래 함수들의 임계점(있는 경우)을 찾으세요. 정답을 확인하려면 각 연습문제를 클릭하세요.
연습문제 1
\( f(x, y) = 3xy - x^3 - y^3 \)
정답 보기
연습문제 2
\( f(x, y) = e^{-x^2 - y^2 + 2x - 2y - 2} \)
정답 보기
연습문제 3
\( f(x, y) = \dfrac{1}{2}x^2 + y^3 - 3xy - 4x + 2 \)
정답 보기
연습문제 4
\( f(x, y) = x^3 + y^3 + 2x + 6y \)