여러 최적화 문제가 해결되며 상세한 풀이가 제시됩니다. 이 문제들은 1계 및 2계 편도함수를 사용하여 이변수 함수를 최적화하는 것과 관련이 있습니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
상세 풀이가 포함된 문제
각 문제를 클릭하여 단계별 상세 풀이를 확인하세요.
문제 1
부피가 1000세제곱센티미터인 직육면체 모양의 상자를 만들고자 합니다. 6면 전체의 총 표면적이 최소가 되도록 상자의 치수 \( x \), \( y \), \( z \)를 구하세요.
문제 1 풀이 보기
직육면체의 6면 전체 총 표면적 \( A \)는 다음과 같이 주어집니다:
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx \]
상자의 부피가 1000으로 주어져 있습니다:
\[ xyz = 1000 \implies z = \frac{1000}{xy} \]\( z \)를 표면적 공식에 대입하여 \( A \)를 두 변수 \( x \)와 \( y \)에 대한 함수로 표현합니다:
\[ A(x,y) = 2xy + 2y\left(\frac{1000}{xy}\right) + 2x\left(\frac{1000}{xy}\right) = 2xy + \frac{2000}{x} + \frac{2000}{y} \]임계점을 찾기 위해 1계 편도함수를 구하고 0으로 놓습니다:
\[ A_x(x,y) = 2y - \frac{2000}{x^2} = 0 \] \[ A_y(x,y) = 2x - \frac{2000}{y^2} = 0 \]이 시스템을 풀면 양의 물리적 해가 얻어집니다:
\[ x = 10, \quad y = 10 \]다음으로 이계 편도함수를 구합니다:
\[ A_{xx}(x,y) = \frac{4000}{x^3}, \quad A_{yy}(x,y) = \frac{4000}{y^3}, \quad A_{xy}(x,y) = 2 \]\( (10, 10) \)에서 \( D = A_{xx}A_{yy} - A_{xy}^2 \)를 평가합니다:
\[ D = \left(\frac{4000}{1000}\right)\left(\frac{4000}{1000}\right) - (2)^2 = (4)(4) - 4 = 12 \]\( D = 12 > 0 \)이고 \( A_{xx}(10,10) = 4 > 0 \)이므로, 넓이 \( A \)는 다음과 같을 때 최소화됩니다:
\[ x = 10 \, \text{cm}, \quad y = 10 \, \text{cm}, \quad z = \frac{1000}{(10)(10)} = 10 \, \text{cm} \]문제 2
12제곱미터의 골판지를 사용하여 만들 수 있는, 부피가 가장 큰 6면체 직육면체 상자의 치수를 구하세요.
문제 2 풀이 보기
사용 가능한 모든 골판지를 사용하므로, 총 표면적 \( A \)는 12로 고정됩니다:
\[ A = 2xy + 2yz + 2zx = 12 \]
최대화해야 할 부피 \( V \)는 다음과 같습니다:
\[ V = xyz \]표면적 방정식에 대해 \( z \)를 풉니다:
\[ z = \frac{6 - xy}{x + y} \]\( z \)를 부피 공식에 대입합니다:
\[ V(x,y) = \frac{xy(6 - xy)}{x + y} = \frac{6xy - x^2y^2}{x + y} \]1계 편도함수를 구합니다:
\[ V_x(x,y) = -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \] \[ V_y(x,y) = -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \]\( V_x = 0 \) 및 \( V_y = 0 \)으로 설정하면 내부 임계 방정식이 얻어집니다:
\[ x^2 + 2xy - 6 = 0, \quad y^2 + 2xy - 6 = 0 \]두 방정식을 빼면 \( x^2 - y^2 = 0 \implies x = y \) (치수는 양수여야 하므로)가 됩니다. \( x^2 + 2x^2 - 6 = 0 \)에 \( x = y \)를 대입합니다:
\[ 3x^2 = 6 \implies x^2 = 2 \implies x = \sqrt{2}, \; y = \sqrt{2} \]따라서 임계점은 \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)입니다.
이계 편도함수 구하기:
\( V_x \)와 \( V_y \)에 몫의 미분법을 적용하여 이계 편도함수를 구합니다:
\[ V_{xx}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2y^2 \frac{y^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{yy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\left[ -x^2 \frac{y^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2x^2 \frac{x^2 + 6}{(x + y)^3} \] \[ V_{xy}(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ -y^2 \frac{x^2 + 2xy - 6}{(x + y)^2} \right] = -2xy \frac{x^2 + 3xy + y^2 - 6}{(x + y)^3} \]임계점 \( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)에서의 값 평가하기:
- \( V_{xx}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})^2 \frac{(\sqrt{2})^2 + 6}{(\sqrt{2} + \sqrt{2})^3} = -2(2)\frac{2 + 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{8}{16\sqrt{2}} = -\frac{32}{16\sqrt{2}} = -\frac{2}{\sqrt{2}} = -\sqrt{2} \)
- 대칭성에 의해, \( V_{yy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -\sqrt{2} \)
- \( V_{xy}(\sqrt{2}, \sqrt{2}) = -2(\sqrt{2})(\sqrt{2}) \frac{(\sqrt{2})^2 + 3(\sqrt{2})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 - 6}{(2\sqrt{2})^3} = -4\frac{2 + 6 + 2 - 6}{16\sqrt{2}} = -4\frac{4}{16\sqrt{2}} = -\frac{16}{16\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)
이계도함수 판정법 적용하기:
\( (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \)에서 판별식 \( D = V_{xx}V_{yy} - V_{xy}^2 \)를 계산합니다:
\[ D = \left(-\sqrt{2}\right)\left(-\sqrt{2}\right) - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 2 - \frac{2}{4} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]\( D = \dfrac{3}{2} > 0 \)이고 \( V_{xx}(\sqrt{2},\sqrt{2}) = -\sqrt{2} < 0 \)이므로, 부피는 다음과 같을 때 최대화됩니다:
\[ x = \sqrt{2} \, \text{meters}, \quad y = \sqrt{2} \, \text{meters}, \quad z = \frac{6 - (\sqrt{2})(\sqrt{2})}{\sqrt{2} + \sqrt{2}} = \frac{4}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, \text{meters} \]문제 3
점 \( (1, 2, -1) \)에서 평면 방정식 \( x - y + z = 3 \)으로 주어지는 평면까지의 거리를 구하세요.
문제 3 풀이 보기
점으로부터 평면까지의 거리를 구하기 위해, \( (1, 2, -1) \)과 평면 위의 임의의 점 \( (x, y, z) \) 사이 거리의 제곱을 최소화할 수 있습니다:
\[ f(x,y,z) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 \]평면 방정식 \( x - y + z = 3 \)을 \( z \)에 대해 풉니다:
\[ z = 3 - x + y \]\( z \)를 \( f \)에 대입하여 \( x \)와 \( y \)에 대한 함수로 표현합니다:
\[ F(x,y) = (x - 1)^2 + (y - 2)^2 + (-x + y + 4)^2 \]1계 편도함수를 구합니다:
\[ F_x(x,y) = 2(x - 1) + 2(-1)(-x + y + 4) = 4x - 2y - 10 \] \[ F_y(x,y) = 2(y - 2) + 2(1)(-x + y + 4) = -2x + 4y + 4 \]편도함수를 0으로 설정하고 시스템을 풀면 임계점이 구해집니다:
\[ \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}\right) \]평면 위의 해당하는 \( z \) 좌표는 다음과 같습니다:
\[ z = 3 - \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \]이계도함수 판정법으로 확인하면 \( D = (4)(4) - (-2)^2 = 12 > 0 \)이고 \( F_{xx} = 4 > 0 \)이므로 \( \left(\frac{8}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \)에서 최솟값을 가짐이 확인됩니다.
최단 거리 \( d \)는 다음과 같습니다:
\[ d = \sqrt{\left(1 - \frac{8}{3}\right)^2 + \left(2 - \frac{1}{3}\right)^2 + \left(-1 - \frac{2}{3}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{5}{3}\right)^2 + \left(\frac{5}{3}\right)^2 + \left(-\frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{9} + \frac{25}{9} + \frac{25}{9}} = \sqrt{\frac{75}{9}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{5}{\sqrt{3}} \]