편도함수의 정의
\( f(x, y) \)를 두 변수의 함수라고 합시다. \( y \)를 상수로 유지하고 표준 미분 규칙과 공식을 사용하여 변수 \( x \)에 대해 \( f \)를 미분하면(\( f \)가 미분가능하다고 가정할 때), 다음과 같이 표기되는 \( x \)에 대한 \( f \)의 편도함수를 얻습니다:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{또는} \quad f_x \]마찬가지로, \( x \)를 상수로 유지하고 변수 \( y \)에 대해 \( f \)를 미분하면, 다음과 같이 표기되는 \( y \)에 대한 \( f \)의 편도함수를 얻습니다:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{또는} \quad f_y \]극한을 사용하여 다음과 같이 편도함을 정의할 수도 있습니다:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]그리고
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]상세 풀이가 포함된 예제
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예제 1
\( f(x, y) \)가 다음과 같이 주어질 때 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구하세요:
\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]예제 1 풀이 보기
\( y \)를 상수로 가정하고 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]\( x \)를 상수로 가정하고 \( y \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]예제 2
\( f(x, y) \)가 다음과 같이 주어질 때 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구하세요:
\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]예제 2 풀이 보기
\( y \)가 상수라고 가정하고 \( x \)에 대해 미분합니다(\(\sin(xy)\)에 연쇄 법칙 적용):
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]\( x \)가 상수라고 가정하고 \( y \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]예제 3
\( f(x, y) \)가 다음과 같이 주어질 때 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구하세요:
\[ f(x, y) = x e^{xy} \]예제 3 풀이 보기
곱의 미분법을 사용하여 \( y \)를 상수로 가정하고 \( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]\( x \)를 상수로 가정하고 \( y \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]예제 4
\( f(x, y) \)가 다음과 같이 주어질 때 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구하세요:
\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]예제 4 풀이 보기
\( x \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]\( y \)에 대해 미분합니다:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]예제 5
\( f(x, y) \)가 다음과 같이 주어질 때 \( f_x(2, 3) \)과 \( f_y(2, 3) \)을 구하세요:
\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]예제 5 풀이 보기
먼저 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]\( x = 2 \)와 \( y = 3 \)을 대입합니다:
\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]연습문제
다음 함수들에 대한 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구하세요. 정답을 확인하려면 각 연습문제를 클릭하세요.
연습문제 1
\( f(x, y) = x e^{x + y} \)
정답 보기
연습문제 2
\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)
정답 보기
연습문제 2 참고
참고: 로그 성질에 의해 \( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \)이므로 편도함수를 구하는 과정이 간단해집니다.
연습문제 3
\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)