이변수 함수의 상대 극대값, 극소값 및 안장점을 찾습니다. 상세한 풀이가 포함된 여러 예제가 제시됩니다. 이러한 점들의 존재를 확인하기 위해 함수의 3차원 그래프가 함께 제공됩니다. 이 웹사이트에서 이변수 함수의 최적화 문제에 대해 더 알아보세요.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
정리: 이변수 함수의 이계도함수 판정법
\( f \)가 임계점 \( (a, b) \)에서 연속인 이계 편도함수 \( f_{xx} \), \( f_{yy} \), \( f_{xy} \)를 갖는 이변수 함수라고 합시다. 다음과 같이 정의합니다:
\[ D = f_{xx}(a, b) f_{yy}(a, b) - f_{xy}^2(a, b) \]- a) \( D > 0 \)이고 \( f_{xx}(a, b) > 0 \)이면, \( f \)는 점 \( (a, b) \)에서 상대 극소값을 갖습니다.
- b) \( D > 0 \)이고 \( f_{xx}(a, b) < 0 \)이면, \( f \)는 점 \( (a, b) \)에서 상대 극대값을 갖습니다.
- c) \( D < 0 \)이면, \( f \)는 점 \( (a, b) \)에서 안장점을 갖습니다.
- d) \( D = 0 \)이면, 아무런 결론도 내릴 수 없습니다.
상세 풀이가 포함된 예제
각 예제를 클릭하여 단계별 상세 풀이를 확인하세요.
예제 1
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 결정하고 상대 극소값, 극대값 및 안장점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2 - 6x \]예제 1 풀이 보기
1계 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = 4x + 2y - 6 \] \[ f_y(x, y) = 2x + 4y \]임계점은 방정식 \( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 만족합니다:
\[ 4x + 2y - 6 = 0 \] \[ 2x + 4y = 0 \implies x = -2y \]첫 번째 방정식에 \( x = -2y \)를 대입합니다:
\[ 4(-2y) + 2y - 6 = 0 \implies -6y = 6 \implies y = -1 \]그러면 \( x = -2(-1) = 2 \)입니다. 이 시스템의 임계점은 하나이며 \( (2, -1) \)입니다.
이계 편도함수를 구합니다:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 4, \quad f_{xy}(x, y) = 2 \]\( (2, -1) \)에서 \( D \)를 계산합니다:
\[ D = f_{xx}(2, -1) f_{yy}(2, -1) - f_{xy}^2(2, -1) = (4)(4) - 2^2 = 16 - 4 = 12 \]\( D = 12 > 0 \)이고 \( f_{xx}(2, -1) = 4 > 0 \)이므로, 함수 \( f \)는 \( (2, -1) \)에서 국소 극소값(local minimum)을 갖습니다.
3차원 그래프를 통해 \( (2, -1, f(2, -1)) = (2, -1, -6) \)에서의 국소 극소값을 확인할 수 있습니다.
예제 2
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 결정하고 상대 극소값, 극대값 및 안장점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = 2x^2 - 4xy + y^4 + 2 \]예제 2 풀이 보기
1계 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = 4x - 4y \] \[ f_y(x, y) = -4x + 4y^3 \]\( f_x(x, y) = 0 \)과 \( f_y(x, y) = 0 \)을 동시에 풉니다:
\[ 4x - 4y = 0 \implies x = y \]\( -4x + 4y^3 = 0 \)에 \( x = y \)를 대입합니다:
\[ -4y + 4y^3 = 0 \implies 4y(y^2 - 1) = 0 \implies y = 0, \; y = 1, \; y = -1 \]\( x = y \) 관계식을 이용하면 임계점은 다음과 같습니다:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]이계 편도함수를 구합니다:
\[ f_{xx}(x, y) = 4, \quad f_{yy}(x, y) = 12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = -4 \]각 임계점에서 \( D \)와 \( f_{xx \)를 평가합니다:
| 임계점 \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | 12 | 12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | -4 | -4 | -4 |
| \( D \) | -16 | 32 | 32 |
| 결론 | 안장점 | 상대 극소값 | 상대 극소값 |
예제 3
다음으로 정의되는 함수 \( f \)의 임계점을 결정하고 상대 극소값, 극대값 및 안장점을 찾으세요:
\[ f(x, y) = -x^4 - y^4 + 4xy \]예제 3 풀이 보기
1계 편도함수 \( f_x \)와 \( f_y \)를 구합니다:
\[ f_x(x, y) = -4x^3 + 4y \] \[ f_y(x, y) = -4y^3 + 4x \]\( f_x = 0 \)과 \( f_y = 0 \)을 풉니다:
\[ -4x^3 + 4y = 0 \implies y = x^3 \]두 번째 방정식에 \( y = x^3 \)을 대입합니다:
\[ -4(x^3)^3 + 4x = 0 \implies -4x^9 + 4x = 0 \implies -4x(x^8 - 1) = 0 \implies x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = 0 \]\( x \)의 실수 해는 \( x = 0, 1, -1 \)입니다. \( y = x^3 \)을 이용하면 임계점은 다음과 같습니다:
\[ (0, 0), \; (1, 1), \; (-1, -1) \]이계 편도함수:
\[ f_{xx}(x, y) = -12x^2, \quad f_{yy}(x, y) = -12y^2, \quad f_{xy}(x, y) = 4 \]| 임계점 \( (a, b) \) | \( (0, 0) \) | \( (1, 1) \) | \( (-1, -1) \) |
|---|---|---|---|
| \( f_{xx}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{yy}(a, b) \) | 0 | -12 | -12 |
| \( f_{xy}(a, b) \) | 4 | 4 | 4 |
| \( D \) | -16 | 128 | 128 |
| 결론 | 안장점 | 상대 극대값 | 상대 극대값 |
연습문제
아래 함수들의 임계점을 구하고, 각 점이 상대 극소값, 극대값 또는 안장점 중 어디에 해당하는지 찾으세요. 정답을 확인하려면 각 연습문제를 클릭하세요.
연습문제 1
\( f(x, y) = x^2 + 3y^2 - 2xy - 8x \)
정답 보기
\( (6, 2) \)에서의 임계점. \( f_{xx} = 2 > 0 \)이고 \( D = 2(6) - (-2)^2 = 8 > 0 \)이므로, \( (6, 2) \)에서 상대 극소값을 갖습니다.
연습문제 2
\( f(x, y) = x^3 - 12x + y^3 + 3y^2 - 9y \)
정답 보기
임계점은 \( (2, 1), (2, -3), (-2, 1), (-2, -3) \)입니다:
- \( (2, 1) \)에서 상대 극소값 (\( D = 144 > 0, f_{xx} = 12 > 0 \))
- \( (-2, -3) \)에서 상대 극대값 (\( D = 144 > 0, f_{xx} = -12 < 0 \))
- \( (2, -3) \) 및 \( (-2, 1) \)에서 안장점 (\( D = -144 < 0 \))