다변수 연쇄 법칙 소개
내부 변수 자체가 하나 이상의 독립 매개변수의 함수인 다변수 함수를 다룰 때, 다변수 연쇄 법칙을 사용하면 해당 매개변수에 대한 합성 함수의 도함수를 계산할 수 있습니다.
단일 독립 매개변수
\( x \), \( y \), \( z \)가 모두 단일 변수 \( t \)의 함수인 함수 \( f(x, y, z) \)가 주어졌을 때, \( t \)에 대한 \( f \)의 전도함수는 \( f \)의 편도함수와 내부 변수의 표준 도함수의 곱들의 합으로 계산됩니다:
\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]복수의 독립 매개변수 (확장된 연쇄 법칙)
함수 \( f(x, y) \)의 내부 변수 \( x \)와 \( y \)가 \( t \) 및 \( r \)과 같은 여러 매개변수의 함수인 경우, 확장된 연쇄 법칙을 사용하여 각 매개변수에 대한 \( f \)의 편도함을 구합니다:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]다변수 연쇄 법칙 활용 예제
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예제 1
\( U \)는 \( x \), \( y \), \( z \)의 함수이며 다음과 같이 주어집니다:
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \), \( y \), \( z \)는 \( t \)의 함수입니다:
\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]\(\dfrac{dU}{dt}\)를 구하세요.
예제 1 풀이 보기
먼저 다변수 연쇄 법칙을 설정하여 \(\dfrac{dU}{dt}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]다음으로 위 공식의 각 항을 계산합니다 (참고: \(-z^{-1}\)의 도함수는 \(+z^{-2}\)입니다):
\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]이들을 연쇄 법칙 공식에 대입합니다:
\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]\(e^{xy}\)로 묶고 \(x, y,\) 및 \(z\)를 \(t\)에 대한 함수로 바꿉니다:
\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]괄호 안의 식을 전개하여 최종 결과를 구합니다:
\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]예제 2
\( W \)는 \( x \)와 \( y \)의 함수이며 다음과 같이 주어집니다:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \)와 \( y \)는 \( r \)과 \( \theta \)의 함수로 다음과 같습니다:
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]\( r \ge 0 \)이고 \( 0 \le \theta \le 2\pi \)일 때, \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\)과 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\)를 구하세요.
예제 2 풀이 보기
확장된 다변수 연쇄 법칙을 사용하여 두 편도함수를 모두 구합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]모든 개별 구성 요소를 계산합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]대입하고 정리하여 \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]\(x = r \cos(\theta)\), \(y = r \sin(\theta)\), 그리고 \(\sqrt{x^2+y^2} = r\)이므로 다음과 같이 됩니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]대입하고 정리하여 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]참고: 위 과정은 처음부터 \(x\)와 \(y\)를 \(W\)에 직접 대입하여 훨씬 더 빠르게 풀 수도 있습니다:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]이로부터 \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\)과 \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\)임을 쉽게 얻을 수 있습니다. 이 예제는 연쇄 법칙이 직접 대입 결과와 일치함을 검증하는 역할을 합니다.
예제 3
\( W \)는 \( x \)와 \( y \)의 함수이며 다음과 같이 주어집니다:
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \)와 \( y \)는 \( u \)와 \( v \)의 함수로 다음과 같습니다:
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]\(\dfrac{\partial W}{\partial u}\)와 \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\)를 구하세요.
예제 3 풀이 보기
\(u\)와 \(v\)에 대한 확장된 다변수 연쇄 법칙은 다음과 같습니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]필요한 편도함수들을 계산합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]항들을 대입하여 \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]항들을 대입하여 \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]예제 4
치수가 각각 \( L \), \( W \), \( H \)인 직육면체의 부피 공식은 다음과 같습니다:
\[ V = LWH \]길이 \( L = 50\text{ cm} \)이고 \( 0.2\text{ cm/s} \)의 비율로 증가하며, 너비 \( W = 40\text{ cm} \)이고 \( 0.1\text{ cm/s} \)의 비율로 증가하고, 높이 \( H = 30\text{ cm} \)이고 \( 0.1\text{ cm/s} \)의 비율로 감소할 때, 부피 \( V \)가 변하는 비율(\(\text{cm}^3/\text{s}\))을 구하세요.
예제 4 풀이 보기
치수 \( L \), \( W \), \( H \)는 시간 \( t \)에 따라 변하므로 부피 \( V \) 역시 시간에 따라 변합니다. 연쇄 법칙을 사용하여 \(\dfrac{dV}{dt}\)를 구합니다:
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]편도함수를 구하고 변화율을 확인합니다:
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]주어진 순간 값(\(L=50, W=40, H=30\))을 대입하여 \(\dfrac{dV}{dt}\)를 계산합니다:
\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0.2) + (50)(30)(0.1) + (50)(40)(-0.1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]예제 5
저항이 각각 \( R_1 \)인 것과 \( R_2 \)인 두 저항이 병렬로 연결되어 있을 때의 합성 저항 \( R \)은 다음과 같습니다:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]저항 \( R_1 \)과 \( R_2 \)는 온도 \( T \)에 따라 다음 공식을 따릅니다:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]여기서 \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \), 및 \( T_0 \)는 상수입니다. 변화율 \(\dfrac{dR}{dT}\)를 구하세요.
예제 5 풀이 보기
\(\dfrac{dR}{dT}\)는 연쇄 법칙에 의해 다음과 같이 구해집니다:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]몫의 미분법을 사용하여 \(R\)의 편도함수를 구하고, \(T\)에 대한 \(R_1\)과 \(R_2\)의 도함수를 구합니다:
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]이 항들을 연쇄 법칙 방정식에 다시 대입합니다:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]하나의 분수로 합칩니다:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]