테스트, 시험, 배치고사 등을 연습하고 다음의 핵심 주제에 대해 깊이 있는 이해를 얻기 위한 상세한 풀이가 포함된 미적분학 1 문제 모음입니다:
- 함수
- 극한
- 연속성
- 도함수
- 도함수의 응용
문제들은 미적분학 1에서 가장 중요한 주제를 다루도록 설계되었으며, 각 문제에는 확장 가능한 상세한 풀이가 포함되어 있습니다.
이어지는 내용에서 \( C \)는 해당되는 경우 적분 상수를 나타냅니다.
연습문제 및 상세 풀이
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문제 1
함수의 정의역을 구하세요: \[ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{4 - x^2}} \]문제 1 풀이 보기
함수 \( f \)가 실수 값을 가지려면 분자의 근호 안의 식은 음이 아니어야 하고, 분모의 근호 안의 식은 양수여야 합니다. 부등식을 풉니다:
\[ x - 1 \ge 0 \quad \text{그리고} \quad 4 - x^2 > 0 \]첫 번째와 두 번째 부등식의 해집합은 각각 다음과 같습니다:
\[ x \ge 1 \quad \text{그리고} \quad -2 < x < 2 \]두 조건은 동시에 만족되어야 합니다. 따라서 정의역은 두 집합의 교집합입니다:
\[ 1 \le x < 2 \] -
문제 2
함수의 치역을 구하세요: \[ f(x) = \frac{x - 1}{2 - 3x} \]문제 2 풀이 보기
역함수의 성질에 따라, \( f \)의 치역은 그 역함수의 정의역입니다.
먼저 \( f(a) = f(b) \)라고 가정하고 \( a = b \)임을 보여줌으로써 \( f \)가 일대일 함수임을 증명합니다:
\[ \frac{a - 1}{2 - 3a} = \frac{b - 1}{2 - 3b} \]대각 곱셈을 하고 정리하면 \( a = b \)가 되어 역가능성이 증명됩니다. 역함수를 구하려면 다음에서 시작합니다:
\[ y = \frac{x - 1}{2 - 3x} \implies 2y - 3xy = x - 1 \implies x = \frac{2y + 1}{3y + 1} \]\( x \)와 \( y \)를 서로 바꾸어 역함수를 구합니다:
\[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3x + 1} \]\( f^{-1} \)의 정의역은 \( x = -\dfrac{1}{3} \)을 제외합니다. 따라서 구간 표기법으로 나타낸 \( f \)의 치역은 다음과 같습니다:
\[ \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) \] -
문제 3
함수의 역함수를 구하세요: \[ f(x) = \ln(2x - 3) + 2 \]문제 3 풀이 보기
함수를 방정식으로 쓰고 \( x \)에 대해 풉니다:
\[ y = \ln(2x - 3) + 2 \] \[ y - 2 = \ln(2x - 3) \] \[ e^{y - 2} = 2x - 3 \implies 2x = e^{y - 2} + 3 \implies x = \frac{1}{2}\left(e^{y - 2} + 3\right) \]\( x \)와 \( y \)를 서로 바꾸어 역함수를 구합니다:
\[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\left(e^{x - 2} + 3\right) \] -
문제 4
다음 각 극한을 구하세요:- \( \displaystyle \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} \)
- \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + 1}{x} \)
문제 4 풀이 보기
a) 이 극한은 부정형 \( \dfrac{0}{0} \)입니다. 분자의 켤레를 분자와 분모에 곱합니다:
\[ \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} = \lim_{x \to 16} \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{16}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} \] \[ = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{16 - x}{16x}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{-1}{16x\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{-1}{16(16)\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{128} \]b) 극한은 \( \dfrac{\infty}{\infty} \) 형태입니다. 모든 항을 가장 높은 차수 \( x^4 \)로 나눕니다:
\[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{9}{x^4}} = \frac{0}{1} = 0 \]c) 부정형 \( \infty \cdot 0 \). \( t = \dfrac{3}{x} \)로 둡니다:
\[ \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) = \lim_{t \to 0} 3 \frac{\sin(t)}{t} = 3 \times 1 = 3 \]d) 부정형 \( \dfrac{0}{0} \). 로피탈의 정리를 적용합니다:
\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) + 1}{4x + 1} = \frac{\cos(0) + 1}{0 + 1} = 2 \]e) \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)이므로 1을 더하면 \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \)가 됩니다. \( x > 0 \)으로 나눕니다:
\[ 0 \le \frac{\sin(x) + 1}{x} \le \frac{2}{x} \]조임 정리에 의해 양 끝 값의 극한이 0이므로 극한은 \( 0 \)으로 수렴합니다.
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문제 5
a) 동일한 좌표계에 \( y = e^{x-1} \)과 \( y = x \)를 그리고, 두 그래프가 점 \( (1, 1) \)에서 접하며 \( e^{x-1} \ge x \)임을 확인하세요.
b) a)의 결과를 사용하여 함수 \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \)의 오목성과 변곡점을 판별하세요.문제 5 풀이 보기
a) \( y = e^{x-1} \)의 도함수는 \( y' = e^{x-1} \)입니다. \( x = 1 \)일 때 기울기 \( m = e^{1-1} = 1 \)입니다. \( (1, 1) \)에서의 접선은 \( y - 1 = 1(x - 1) \implies y = x \)입니다. 따라서 두 그래프는 \( (1, 1) \)에서 접하고 \( e^{x-1} \ge x \)입니다.
그림 2. \( y = e^{x-1} \)과 \( y = x \)의 그래프 b) \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \)이 주어졌을 때 도함수는 다음과 같습니다:
\[ f'(x) = \frac{x^2}{2} - e^{x-1}, \quad f''(x) = x - e^{x-1} \]\( e^{x-1} \ge x \implies x - e^{x-1} \le 0 \)이므로 모든 곳에서 \( f''(x) \le 0 \)입니다(\( x = 1 \)일 때 등호 성립). 따라서 \( f(x) \)는 \( (-\infty, +\infty) \)에서 아래로 볼록(concave down)하며, \( f'' \)의 부호가 바뀌지 않으므로 변곡점이 없습니다.
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문제 6
다음 함수의 도함수를 구하세요 (최종 답을 간소화하지 않아도 됩니다):- \( f(x) = e^{x-1} + \ln(3x - 1) + \sin(2x + 1) \)
- \( g(x) = (2x - 1)^2(\tan(x) - 1) \)
- \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2 - 2x + 1} \)
- \( m(x) = \sin\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \)
- \( n(x) = 3^{2x+3} + \log_3(2x - 1) \)
문제 6 풀이 보기
a) 합의 법칙: \( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x - 1} + 2\cos(2x + 1) \)
b) 곱의 법칙: \( g'(x) = 4(2x - 1)(\tan(x) - 1) + (2x - 1)^2\sec^2(x) \)
c) 몫의 법칙: \( h'(x) = \dfrac{(1 + \sin(x))(x^2 - 2x + 1) - (x - \cos(x))(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2} \)
d) 연쇄 법칙: \( m'(x) = \cos\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(3x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2\right)^{-1/2} \)
e) 밑 변환: \( n(x) = e^{(2x+3)\ln 3} + \dfrac{\ln(2x-1)}{\ln 3} \implies n'(x) = (2\ln 3)3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x - 1)} \)
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문제 7
점 \( (0, \sqrt{\pi}) \)에서 곡선 \( \sin(y^2) = x^2 \)의 접선 방정식을 구하세요.문제 7 풀이 보기
\( x \)에 대해 음함수 미분법을 적용합니다:
\[ 2y \frac{dy}{dx}\cos(y^2) = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y\cos(y^2)} \]\( (0, \sqrt{\pi}) \)에서 대입합니다:
\[ m = \frac{0}{\sqrt{\pi}\cos(\pi)} = 0 \]수평 접선의 방정식은 다음과 같습니다:
\[ y = \sqrt{\pi} \] -
문제 8
함수 \( f \)가 \( (-\infty, +\infty) \)에서 연속이 되도록 하는 상수 \( a \)와 \( b \)를 구하세요: \[ f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x \le 1 \\ ax^3 + b & 1 < x < 2 \\ x + 2b & x \ge 2 \end{cases} \]문제 8 풀이 보기
\( x = 1 \)에서의 연속성:
\[ \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (ax^3 + b) = a + b \implies a + b = 1 \quad \text{(식 1)} \]\( x = 2 \)에서의 연속성:
\[ \lim_{x \to 2^-} (ax^3 + b) = 8a + b, \quad \lim_{x \to 2^+} (x + 2b) = 2 + 2b \implies 8a + b = 2 + 2b \quad \text{(식 2)} \]식 (1)과 식 (2)를 연립하여 풀면 다음과 같습니다:
\[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3} \] -
문제 9
\( x = 0 \)에서 곡선 \( y = x + \sin(x) \)의 접선 방정식을 구하세요.문제 9 풀이 보기
도함수: \( y' = 1 + \cos(x) \). \( x = 0 \)에서의 기울기는 \( m = 1 + \cos(0) = 2 \)입니다.
접점: \( P(0, 0 + \sin(0)) = (0, 0) \).
접선 방정식: \( y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x \).
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문제 10
극한으로서의 도함수의 정의를 사용하여 \( f(x) = \sqrt{x + 2} \)일 때 \( f'(x) \)를 구하세요.문제 10 풀이 보기
도함수의 극한 정의를 사용합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 2} - \sqrt{x + 2}}{h} \]켤레를 곱합니다:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 2) - (x + 2)}{h\left(\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \] -
문제 11
함수 \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 8) + \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^3}{6} \)가 오목 위(concave up) 및 아래(concave down)인 구간을 판별하고 변곡점을 찾으세요.문제 11 풀이 보기
1계 도함수: \( f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 3) + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} \)
2계 도함수: \( f''(x) = e^x(x^2 - x) + x^2 - x = x(x - 1)e^x \)
\( f'' \)의 영점은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)입니다. 각 구간을 테스트합니다:
- \( (-\infty, 0) \): \( f''(-1) > 0 \) (오목 위)
- \( (0, 1) \): \( f''(1/2) < 0 \) (오목 아래)
- \( (1, +\infty) \): \( f''(2) > 0 \) (오목 위)
변곡점은 \( x = 0 \)과 \( x = 1 \)에서 발생합니다.
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문제 12
초기 근사값 \( x_1 = 2 \)를 사용하여 뉴턴의 방법을 통해 방정식 \( e^x = x^3 \)의 두 번째 근사값을 구하세요.문제 12 풀이 보기
\( f(x) = e^x - x^3 = 0 \)으로 둡니다. 그러면 \( f'(x) = e^x - 3x^2 \)입니다.
\( x_1 = 2 \)인 뉴턴 알고리즘 \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \)을 사용합니다:
\[ x_2 = 2 - \frac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3(2^2)} \approx 1.87 \] -
문제 13
구간 \( [0, 5] \)에서 함수 \( f(x) = x^4 - x^3 \)의 절대 최댓값과 최솟값을 구하세요.문제 13 풀이 보기
도함수: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x - 3) \). 임계점은 \( x = 0 \)과 \( x = 3/4 \)입니다.
\( [0, 5] \)에서 끝점과 임계점의 값을 평가합니다:
\[ f(0) = 0, \quad f(5) = 500, \quad f(3/4) = -\frac{27}{256} \]절대 최댓값은 \( x = 5 \)일 때 \( 500 \)이고, 절대 최솟값은 \( x = 3/4 \)일 때 \( -\dfrac{27}{256} \)입니다.
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문제 14
직육면체 상자의 치수 \( L \), \( W \), \( H \)가 각각 \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; \text{cm/sec} \), \( \dfrac{dW}{dt} = -0.2 \; \text{cm/sec} \), \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; \text{cm/sec} \)의 비율로 변할 때, \( L = 20 \; \text{cm} \), \( W = 8 \; \text{cm} \), \( H = 5 \; \text{cm} \)일 때 상자의 부피는 어떤 비율로 변하고 있나요?문제 14 풀이 보기
부피 공식: \( V = LWH \). 시간 \( t \)에 대해 미분합니다:
\[ \frac{dV}{dt} = WH\frac{dL}{dt} + LH\frac{dW}{dt} + LW\frac{dH}{dt} \]주어진 값들을 대입합니다 (\( L = 20, W = 8, H = 5, \dfrac{dL}{dt} = 0.1, \dfrac{dW}{dt} = -0.2, \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \)):
\[ \frac{dV}{dt} = (8)(5)(0.1) + (20)(5)(-0.2) + (20)(8)(0.3) = 32 \; \text{cm}^3/\text{sec} \] -
문제 15
반지름이 3인 반원에 내접할 수 있는 가장 큰 넓이를 가진 직사각형의 치수는 무엇인가요?
그림 1. 반원에 내접한 직사각형 문제 15 풀이 보기
원 방정식: \( x^2 + y^2 = 9 \implies y = \sqrt{9 - x^2} \). 직사각형 치수: \( L = 2x \) 및 \( W = \sqrt{9 - x^2} \).
넓이 함수: \( 0 \le x \le 3 \)에 대해 \( A(x) = 2x\sqrt{9 - x^2} \).
그림 3. 내접 직사각형 풀이 다이어그램 도함수: \( A'(x) = \dfrac{2(-2x^2 + 9)}{\sqrt{9 - x^2}} \). \( A'(x) = 0 \)으로 놓으면 임계점 \( x = \sqrt{4.5} \)가 얻어집니다.
평가하면 \( x = \sqrt{4.5} \)에서 최대 넓이를 가지며, 치수는 다음과 같습니다:
\[ L = 2\sqrt{4.5} \approx 4.24, \quad W = \sqrt{9 - 4.5} \approx 2.12 \]