미적분학 1 연습 문제 - A

시험, 배치 시험 등을 연습하고 다음 주제에 대한 깊은 이해를 얻을 수 있는 자세한 솔루션이 포함된 미적분학 1 문제 세트입니다.

미적분학의 함수
미적분학의 한계
미적분학의 연속성
미적분학의 도함수
미적분학에서의 도함수 적용

문제는 미적분학 1에서 가장 중요한 주제를 다루도록 고안되었으며 자세한 솔루션에는 이러한 주제에 대한 추가 연습 링크가 포함되어 있습니다.

질문 1
함수의 정의역을 찾아보세요
질문 2
함수 값의 범위를 찾습니다
질문 3
함수의 역함수 찾기
질문 4
함수의 극한을 찾아보세요
\( \)\( \)\( \)\( \)
질문 5
a) 동일한 좌표계에서 \( y = e^{x-1} \) 및 \( y = x \)를 그래프로 나타낸 다음 두 그래프가 \( (1,1) \) 점에서 접하고 있음을 보여줍니다. 그 \( e^{x-1} \ge x \)
b) a) 부분에서 얻은 결과를 사용하여 함수 \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \)의 오목함과 변곡점(있는 경우)을 결정합니다.
질문 6
다음 함수의 미분을 찾아보세요.

a) \( f(x) = e^{x-1} + \ln (3x-1) + \sin(2x+1) \)

b) \( g(x) = (2x-1)^2(\tan(x)-1) \)

c) \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2-2x+1} \)

d) \( m(x) = \sin \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) \)

e) \( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) \)
질문 7
\( ( 0,\sqrt{\pi}) \) 점에서 \( \sin(y^2) = x^2 \) 방정식을 사용하여 곡선에 대한 접선의 방정식을 찾습니다.
질문 8
함수 \( f \)가 \( (-\infty , +\infty ) \)에서 연속이 되도록 상수 \( a \) 및 \( b \)를 찾습니다.
\( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x - 1 & x\le 1 \\ a x^3 + b & 1 \lt x \lt 2 \\ x + 2 b & x\ge 2 \\ \end{array} \right. \)
질문 9
\( x = 0 \)에서 방정식 \( y = x + \sin(x) \)을 사용하여 곡선에 대한 접선의 방정식을 찾습니다.
질문 10
도함수의 정의를 극한으로 사용하여 \( f(x) = \sqrt{x+2} \)인 도함수 \( f' \)를 찾습니다.
질문 11
어떤 간격이 함수 \( f(x) = e^x(x^2-5x+8)+\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^3}{6} \) 위로 오목하고 아래로 오목하며 변곡점도 있습니다.
질문 12
방정식 \( e^x = x^3 \)의 해에 대한 두 번째 근사치를 찾으려면 초기 근사치 \( x_1 = 2 \)와 함께 뉴턴의 방법을 사용하십시오.
질문 13
구간 \( [0,5] \)에서 함수 \( f(x) = x^4 - x^3 \)의 절대 최대값과 최소값을 찾습니다.
질문 14
직사각형 상자의 치수 \( L \),\( W \) 및 \( H\)가 \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; cm/sec \) 비율로 변경되면 \( \dfrac{dW}{dt} = - 0.2 \; cm/sec\) 및 \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; cm/sec\), 상자의 부피는 얼마입니까? \( L = 20 \; cm \), \( W = 8 \; cm \) 및 \( H = 5 \; cm \)일 때 변경됩니까?
질문 15
반지름이 3인 반원에 내접할 수 있는 가장 큰 면적을 가진 직사각형의 크기는 얼마입니까?

위 질문에 대한 자세한 솔루션

질문 1에 대한 해결책
함수 \( f \)가 실수 값을 취하려면 분자의 근호 아래 표현식이 음수가 아니어야 하고 분모의 근호 아래의 표현식이 양수여야 합니다. 따라서 해결해야 할 불평등
\( x - 1 \ge 0 \) 및 \( 4 - x^2 \gt 0 \)
첫 번째 부등식과 두 번째 부등식에 대한 해 집합은 각각 다음과 같습니다.
\( x \ge 1 \) 및 \( -2 \lt x \lt 2 \)
두 부등식은 동시에 충족되어야 하므로 주어진 함수의 도메인은 집합 \( x \ ge 1 \) 및 \( -2 \lt x \lt 2 \)는 다음과 같이 주어진다.
\( 1 \le x \lt 2 \)
질문 2에 대한 해결책
역함수의 속성에 따르면 범위는 주어진 함수의 역의 도메인을 찾는 것입니다.
먼저 \( f \)가 일대일 함수임을 증명한 다음 역. \( f \)가 일대일 함수이므로 가역적임을 증명하기 위해 일대일 함수의 대위법을 사용하고 다음으로 시작합니다. \( f(a) = f(b) \) 그리고 \( a = b \)를 증명하세요. 따라서
\( \dfrac{a - 1}{2-3 a} = \dfrac{b - 1}{2-3 b} \)
교차 곱하기
\( (a - 1)(2-3 b) = (2 - 3 a)(b - 1) \)
확장하다
\( 2a - 2 - 3 a b + 3 b = 2 b - 2 - 3 a b + 3 a \)
용어와 같은 그룹
\( 2a = 2b \)
에 대해 해결
\( a = b\)
이는 함수 \( f \)가 일대일 함수이므로 역함수를 갖는다는 것을 증명합니다.
\( f \)의 역은 다음 방정식으로 시작하여 계산될 수 있습니다.
\( y = \dfrac{x - 1}{2-3x} \)
위의 방정식을 교차 곱하세요
\( 2 y - 3 x y = x - 1 \)
그리고 \( x \)를 풀어보세요
\( x = \dfrac{2 y + 1}{3y + 1} \)
역수 \( f^{-1} \)를 얻기 위해 위 방정식에서 \( x \)와 \( y \)를 교환합니다.
\( f^{-1}(x) = y = \dfrac{2 x + 1 }{3x + 1} \).
\( f^{-1} \)의 도미안은 \( -\dfrac{1}{3} \)를 제외한 모든 실수의 집합입니다. 따라서 \( f \)의 범위는 다음과 같이 간격 형식으로 쓸 수 있는 \( -\dfrac{1}{3} \)를 제외한 모든 실수의 집합입니다.
\( (-\infty , - \dfrac{1}{3}) \cup (- \dfrac{1}{3} , +\infty) \)
질문 3에 대한 해결책
다음과 같이 함수를 방정식으로 작성합니다.
\( y = ln (2x - 3) + 2 \)
x에 대해 위의 방정식을 푼다.
\( y - 2 = ln (2x - 3) \)
\( 2x - 3 = e^{y - 2} \)
\( 2 x = e^{y - 2} + 3 \)
\( x = \dfrac{1}{2} (e^{y - 2} + 3) \)
\( x \) 및 \( y \) 교환
\( y = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)
\( f \)의 역은 다음과 같이 주어진다.
\( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)
질문 4에 대한 해결책
a)
제한 은 불확정 형식 \( \dfrac{0}{0} \)입니다.
분자와 분모에 분자의 켤레를 곱합니다. \( -\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4} \)

\( \lim_{x\to 16} \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4}}{x - 16 } \) = \( \lim_{x\to 16} \dfrac{ (-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)
단순화하다
\( = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{16} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{16-x}{16x} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)

\( = \lim_{x\to 16} \dfrac{-1}{16x(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{-1}{16 \times 16(-\dfrac{1}{\sqrt 16} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{1}{128}\)

b)
한계는 불확정 형식 \( \dfrac{\infty}{\infty} \)입니다.
분자의 모든 항과 분모의 모든 항을 \( x^4 \)에서 가장 높은 거듭제곱을 갖는 항으로 나눕니다.
\( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x^3+2x-1}{x^4 - 3 x^3 + 9 } = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-x^3}{x^4}+\dfrac{2x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4} - \dfrac{3 x^3}{x^4} + \dfrac{9}{x^4} }\).
합리적인 용어를 단순화
\( = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-1}{x}+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{x^4} } = \dfrac{0+0-0}{1 - 0 + 0 } = \dfrac{0}{1} = 0\)

c)
한계는 불확실한 형태입니다. \( \infty \cdot 0 \).
\( t = \dfrac{3}{x} \)로 두고 극한을 \( t \)로 다시 작성합니다.
\( \lim_{x\to +\infty} x \sin(\dfrac{3}{x}) = \lim_{t\to 0} 3 \dfrac {\sin(t)}{t} \).
잘 알려진 결과 \( \lim_{t\to 0} \dfrac {\sin(t)}{t} = 1 \)를 사용하면 극한은 다음과 같이 평가됩니다.
\( = 3 \times 1 = 3\)

d)
\( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \dfrac{0}{0}\),부정형
불확정 형식에 L'Hospital 규칙 을 사용하면 다음과 같이 작성할 수 있습니다.
\( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ d (\sin(x)+x) / dx }{ d(2x^2+x)/dx} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ cos(x)+ 1 }{ 4x+1} = \dfrac{ cos(0)+ 1 }{ 4\times 0+1} = 2\)

e)
\( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} \).
\( \sin(x) \)의 범위는 다음과 같이 주어진다는 것은 잘 알려져 있습니다.
\( -1 \le \sin(x) \le 1 \)
다음 부등식을 얻으려면 부등식의 모든 항에 1을 더하세요.
\( -1 + 1 \le \sin(x) + 1 \le 1 + 1 \)
\( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \)
위 부등식의 모든 항을 양수 \( x \)로 나눕니다.
\( \dfrac{0}{x} \le \dfrac{\sin(x) + 1}{x} \le \dfrac{2}{x} \)
We have
\( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{0}{x} = 0 \) and \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0 \)
사용 압착(또는 샌드위치) 정리를 사용하면 다음과 같이 주어진 한계를 평가할 수 있습니다.
\( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} = 0 \)
질문 5에 대한 해결책
a)
\( y = e^{x-1} \) 및 \( y = x \)의 그래프는 아래와 같습니다. \( y = e^{x-1} \)의 도함수 는 \( y와 같습니다. ' = e^{x-1} \)이고 \( x = 1 \)에서 접선의 기울기 \( m \)는 \( x = 1\)에서 도함수 값입니다. 따라서

\( m = y'(1) = e^{1-1}= 1 \)
\( (1,1) \) 점에서 접선 의 방정식은 다음과 같습니다.
\( y - 1 = 1 \times (x - 1) \)
단순화하는 것은
\( y = x \)
따라서 \( y = e^{x-1} \) 및 \( y = x \)의 그래프는 \( (1,1) \) 점에서 접하고 따라서 \( e^ {x-1} \ge x \).
b)
\( f \)의 1차 및 2차 도함수는 다음과 같이 지정됩니다.
\( f'(x) = \dfrac{x^2}{2}-e^{x-1} \)
\( f''(x) = x-e^{x-1} \)
변곡점 은 \( x \) 값에서 발생합니다. 여기서 \( f''(x ) \) 기호를 변경합니다. 우리는 a) 부분에서 다음과 같이 쓸 수 있는 \( e^{x-1} \ge x \)를 보았습니다.
\( x-e^{x-1} \le 0 \)
따라서 \( f''(x) \)는 음수이고 \( x = 1 \)에서 0을 갖습니다. 따라서 \( f(x) \)의 그래프는 아래쪽으로 오목하고 \( f''(x) \)의 부호가 변하지 않기 때문에 변곡점이 없습니다.
질문 6에 대한 해결책
a) 도함수 규칙 의 합은 다음과 같습니다: \( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x-1} + 2 \cos(2x+1) \)
b) 파생상품 규칙의 곱: \( g'(x) = 4(2x-1)(\tan(x)-1) + (2x-1)^2(\sec^2(x)) \)
c) 파생상품의 몫 규칙: \( h'(x) = \dfrac{ (1 + \sin(x))(x^2-2x+1) - (x - \cos(x))(2x-2) }{(x^2-2x+1)^2} \)

d) \( u = \sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \) 라고 하고, 함수 \(m \) 을 \( m = \sin u \) 로 작성한 다음 연쇄 규칙

\( m'(x) = \dfrac{d m}{d u} \dfrac{d u}{d x} = \cos(u) \dfrac{1}{2}(3x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)

\( = \dfrac{1}{2} \cos \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) (3x^2+\dfrac{1}{x^2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)

e)
\( 3^{ 2x+3} \) 및 \( \log_3(2x-1) \)를 다음과 같이 다시 작성합니다.
\( 3^{2x+3} = e^{(2x+3) \ln 3}\) , 지수의 밑 변화
\( \log_3(2x-1) = \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3}\) , 로그 밑의 변화
\(n(x)\)를 다음과 같이 대체하고 다시 작성합니다.
\( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) = e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3} \)
이제 미분을 계산합니다.
\( n'(x) = ( 2 \ln 3 ) e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{1}{ \ln 3} \dfrac{2}{2x-1} = ( 2 \ln 3 ) 3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x-1)} \)
질문 7에 대한 해결책
먼저 주어진 방정식을 암묵적으로 미분합니다.
\( 2 y \dfrac{d y}{d x} cos(y^2) = 2 x \)
\( \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{ x}{ y cos(y^2)} \)
접선의 기울기 \( m \)는 \( ( 0,\sqrt{\pi}) \) 점에서 \( \dfrac{d y}{d x} \) 값으로 제공됩니다.
\( m = \dfrac{(0)}{\sqrt{\pi} cos((\sqrt{{\pi}})^2)} = 0 \)
점 \( ( 0,\sqrt{\pi}) \)에서 곡선에 대한 접선의 점 기울기 형식 방정식은 다음과 같이 제공됩니다.
\( y - \sqrt{\pi} = 0(x - 0) \)
에 의해 주어진 수평선이다.
\( y = \sqrt{\pi} \)
질문 8에 대한 해결책
\( f(x) \)는 간격 \( (-\infty , 1)에서 연속 입니다. \) , \( (1,2) \) 및 \( (2 , +\infty) \). \( x = 1 \) 및 \( x = 2 \)에서도 연속이고 따라서 \( (-\infty , +\)에서도 연속되도록 \( a \) 및 \( b \)를 찾아야 합니다. infty) \).
\( f(1) = 1 \)
\( \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1 \)
\( \lim_{x\to 1^+} f(x) = a(1)^3+b = a + b \)
\( 1 \)의 왼쪽과 오른쪽의 극한은 동일해야 합니다.
\( a + b = 1 \) (방정식 1)
\( f(2) = 2 + 2 b \)
\( \lim_{x\to 2^-} f(x) = a(2)^3 + b = 8 a + b \)
\( \lim_{x\to 2^+} f(x) = 2 + 2 b \)
\( 2 \)의 왼쪽과 오른쪽의 극한은 동일해야 합니다.
\( 8 a + b = 2 + 2 b \) (방정식 2)
방정식 (1)과 (2)를 동시에 풀어 다음을 구합니다.
\( a = \dfrac{1}{3} \) and \( b = \dfrac{2}{3} \)
질문 9에 대한 해결책
\( y \)의 미분 구하기.
\( y' = 1 + \cos(x) \)
\( x = 0 \)에서 접선의 기울기 \( m \)는 \( x = 0 \)에서 \( y' \)의 값과 같습니다. 따라서
\( m = 1 + \cos(0) = 2 \)
접선점 \( P \)의 y 좌표는 \( x = 0 \)에서 \( y \)의 값으로 제공됩니다. 따라서
\( P(0 , 0 + \sin(0)) = P(0,0) \)
점 경사 형태의 접선 방정식은 다음과 같이 지정됩니다.
\( y - 0 = 2(x - 0) \)
그리고 경사 절편 형태로
\( y = 2 x \)
질문 10에 대한 해결책
함수 \( f \)의 도함수 정의 \( f' \)는 극한으로 제공됩니다.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
위 정의에서 \( f(x) \)를 \( \sqrt{x+2} \)로 대체하면 다음을 얻을 수 있습니다.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} }{h} \)
위의 한도는 불확정 형식 \( \dfrac{0}{0} \)입니다. 분자와 분모에 분자의 켤레를 곱합니다.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} ) (\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )} \)
분자를 확장하고 단순화하세요.
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (x + h + 2)- (x + 2) ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ h }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )}\)
분자와 분모를 \( h \)로 나눕니다(또는 \( h \) 취소).
\( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ 1 }{\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} }\)
극한과 그에 따른 도함수를 평가합니다.
\( f'(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x + 0 + 2} + \sqrt{x + 2} } = \dfrac{ 1 }{2 \sqrt{x + 2} }\)
질문 11에 대한 해결책
1차 미분과 2차 미분은 다음과 같이 계산됩니다
\( f'(x) = e^x (x^2-5x+8) + e^x (2 x -5) +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} = e^x (x^2-3x+3)+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} \)
\( f''(x) = e^x(x^2-3x+3)+e^x(2x-3) + x^2-x = e^x(x^2-x)+x^2-x = x (x - 1) e^x \)
\( f'' \)에는 두 개의 0이 있습니다: \( x = 0 \) 및 \( x = 1\) 및 \( e^x \)는 항상 양수입니다. 따라서 \( f'' \) 기호 표에는 세 개의 간격이 있습니다.
1) \( (-\infty , 0 ) \) , 테스트 값 \( x = -1 \) , \( f''(-1) = 2/e \) , 따라서 \( f''(x) \)는 \( (-\infty , 0 ) \) 구간에서 양수입니다.
2) \( (0 , 1 ) \) , 테스트 값 \( x = 1/2 \) , \( f''(1/2) = -\dfrac{\sqrt 2}{4} \) 따라서 \( f''(x) \)는 \( (0 , 1 ) \) 구간에서 음수입니다.
3) \( (1 , +\infty ) \) , 테스트 값 \( x = 2 \) , \( f''(2) = 2e^2 \) , \( f''(x) \) 는 \( (1 , +\infty ) \) 구간에서 양수입니다.
\( f'' \)는 간격 \( (-\infty , 0 )에서 위쪽으로 오목 합니다. \) 및 \( (1 , +\infty ) \) 이고 간격 \( (0 , 1 ) \)에서 아래로 오목합니다.
\( f'' \)는 \( x = 0 \) 및 \( x = 1 \)에서 부호를 변경하므로 \( x = 0 \) 및 \( x = 1 \)에서 변곡점을 갖습니다.
질문 12에 대한 해결책
Newton의 방법 은 다음 알고리즘을 기반으로 합니다. 방정식 \( f(x) = 0 \), 방정식의 다음 근사값 \( x_{n+1}\)은 다음과 같이 제공됩니다.
\( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
주어진 방정식 \( e^x = x^3 \)의 해는 방정식 \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \)의 해와 같습니다.
\( f'(x) = e^x - 3x^2 \)
우리는 첫 번째 근사값 \( x_1 = 2 \)을 알고 있습니다. Newton's 알고리즘을 사용하여 \( x_2\)를 다음과 같이 근사합니다.
\( x_{2} = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 2 - \dfrac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3 \times 2^2} \approx 1.87 \) (소수점 둘째 자리에서 반올림)
위에서 찾은 \( x_2 \) 등을 사용하여 근사값 \(x_3\)을 얻을 수 있습니다.
질문 13에 대한 해결책
1차 도함수를 구하고 인수분해합니다.
\( f'(x) = 4 x^3 - 3 x^2 = x^2(4x - 3)\)
\( f'(x) \)는 \( x = 0 \) 및 \( x = 3/4 \)에 두 개의 0을 가지며 둘 다 \( [0,5] \) 간격 내에 있습니다. \( f'(x) \)의 0을 임계점이라고 합니다.
이제 주어진 간격의 끝점과 \( f'(x) \)의 0에서 함수를 평가합니다.
\( f(0) = 0 \)
\( f(5) = 5^4 - 5^3 = 500 \)
\( f(3/4) = (3/4)^4 - (3/4)^3 = -\dfrac{27}{256} \)
이러한 값을 비교하면 \( f(x) \)는 끝점 \( x = 5 \)에서 절대 최대값은 \(500 \)과 같고 절대 최소값은 \( -\dfrac{27}{256} \) 임계점에서 \( x = 3/4 \)
함수의 절대 최소값 및 최대값에 대한 추가 질문이 포함되어 있습니다.
질문 14에 대한 해결책
치수가 \( L \),\( W \) 및 \( H\)인 직사각형 상자의 부피 \( V \)는 다음과 같이 계산됩니다.
\( V = L(t) W(t) H(t) \)
여기서 \( L(t)\) , \( W(t) \) 및 \( H(t) \)는 시간 \( t \)의 함수입니다.
상자의 크기는 시간에 따라 변하므로 상자의 부피도 변화율 에서 시간에 따라 변합니다. \( V \)의 a>는 1차 도함수 \( \dfrac{dV}{dt} \)로 제공됩니다.
\( \dfrac{dV}{dt} = W(t) H(t) \dfrac{d L}{dt } + L(t) H(t) \dfrac{d W}{dt } + L(t) W(t) \dfrac{d H}{dt } \)
알려진 수량을 수치 값으로 대체
\( \dfrac{dV}{dt} = 8 \times 5 \times 0.1 + 20 \times 5 \times (-0.2) + 20 \times 8 \times 0.3 = 32 \; cm^3 / sec \)
질문 15에 대한 해결책
원의 방정식 반지름은 \( 3 \)이고 중심은 \( (0, 0) \)에 의해 주어진다.
\( x^2 + y^2 = 3^2 \)
y에 대해 위 방정식을 푼다.
\(y^2 = 9 - x^2\)
\( y = \pm \sqrt{9 - x^2} \)
위쪽 반원에 대한 방정식은 다음과 같습니다. \( y = \sqrt(9-x^2) \)
x 좌표가 \( x \)인 반원 위의 점은 \(\sqrt{9 - x^2} \)와 동일한 y 좌표를 갖습니다(아래 그래프 참조).
직사각형의 길이는 \( L = 2x \)이고 너비(또는 높이)는 \( W = \sqrt(9-x^2) \)입니다. 직사각형의 면적 \( A \)는 다음과 같이 주어진다.
\( A(x) = L \times W = 2 x \sqrt(9-x^2) \) , \( 0 \le x \le 3 \)

\( A \)의 1차 도함수 찾기
\( \dfrac{d A}{dx} = 2\sqrt{9-x^2} + (2x) (\dfrac{1}{2}) (-2x) (9-x^2)^{-1/2} =\dfrac{2\left(-2x^2+9\right)}{\sqrt{9-x^2}} \)
\( \dfrac{d A}{dx} \)의 0은 \( \dfrac{d A}{dx} \)의 분자의 0으로 제공됩니다.
\( -2x^2+9 = 0 \)
위 방정식에는 \( x = \sqrt{4.5} \) 및 \( x = - \sqrt{4.5} \)의 두 가지 해가 있습니다.
\( [0 , 3 ] \) 구간 내에 있으므로 \( x = \sqrt{4.5} \)의 해를 고려합니다.
이제 끝점 \( x = 0 \) 및 \( x = 3 \)과 임계점 \( x = \sqrt{4.5} \)에서 면적 \( A(x) \)을 평가합니다.
\( A(0) = 0 \)
\( A(3) = 0 \)
\( A(\sqrt{4.5}) = 9 \)
A의 최대 면적은 \( x = \sqrt{4.5} \)입니다.
치수는 다음과 같습니다.
\( L = 2 x = 2 \sqrt{4.5} \approx 4.24 \)
\( W = \sqrt(9-x^2) = \sqrt(9-\sqrt{4.5}^2) \approx 2.12 \)
더 많은 최적화 문제가 포함되어 있습니다.

추가 참조 및 링크

미적분학 문제