근호의 정의
1. 지수 2인 근호 (제곱근)
제곱근은 $2$제곱의 역연산입니다. 입력과 출력을 서로 바꿉니다. 예를 들어 입력이 $9$라면, 역연산의 출력은 $3$입니다.
이를 다음과 같이 씁니다:
$$\sqrt[2]{9} = 3 \quad \text{이유:} \quad 9 = 3^2$$
- 입력 = $16 \implies$ 출력 = $\sqrt{16} = 4 \quad \text{(이유: } 4^2 = 16\text{)}$
- 입력 = $25 \implies$ 출력 = $\sqrt{25} = 5 \quad \text{(이유: } 5^2 = 25\text{)}$
용어 정리: 기호 $\sqrt{\phantom{x}}$는 근호(Radical)입니다. 숫자 $2$는 지수(Index)입니다. 근호 안의 숫자는 피거수(Radicand)입니다.
참고: 관례상 지수가 $2$인 근호(제곱근)는 $2$를 생략하여 씁니다. 단순히 $\sqrt{\phantom{x}}$로 씁니다.
2. 지수 3인 근호 (세제곱근)
$3$제곱 연산의 역연산을 세제곱근(Cube root)이라고 합니다.
이를 다음과 같이 씁니다:
$$\sqrt[3]{8} = 2 \quad \text{이유:} \quad 8 = 2^3$$
- 입력 = $27 \implies$ 출력 = $\sqrt[3]{27} = 3 \quad \text{(이유: } 3^3 = 27\text{)}$
- 입력 = $125 \implies$ 출력 = $\sqrt[3]{125} = 5 \quad \text{(이유: } 5^3 = 125\text{)}$
3. 지수 $n$인 일반적인 근호 ($n$제곱근)
임의의 지수 $n$(여기서 $n$은 0보다 큰 정수)을 가진 근호로 일반화할 수 있습니다:
$$\text{만약 } y = a^n \text{ 이면, } \sqrt[n]{y} = a$$
추가 예시:
- $y = 3^5 = 243$, 따라서 $\sqrt[5]{243} = 3$
- $y = 10^6 = 1,000,000$, 따라서 $\sqrt[6]{1,000,000} = 10$
- $y = (-2)^3 = -8$, 따라서 $\sqrt[3]{-8} = -2$
- $y = 1^{20} = 1$, 따라서 $\sqrt[20]{1} = 1$ (일반적으로 $\sqrt[n]{1} = 1$)
- $y = 0^9 = 0$, 따라서 $\sqrt[9]{0} = 0$ (일반적으로 $\sqrt[n]{0} = 0$)
중요 제약 사항: $n$이 짝수 정수이고 $y$가 음수일 경우, 이 관계는 실수 범위에서 성립하지 않습니다.
- $\sqrt{-16}$은 $x^2 = -16$인 실수 $x$가 존재하지 않으므로 실수에서 정의되지 않습니다. (실수의 제곱은 항상 양수이거나 0입니다).
- $\sqrt[4]{-1}$ 역시 같은 이유로 실수에서 정의되지 않습니다.
근호와 거듭제곱은 서로를 상쇄합니다
지수가 같은 근호와 거듭제곱 연산은 서로를 상쇄합니다. 이들은 역연산이므로, 두 연산을 연속해서 적용하면 원래의 입력 값이 반환됩니다.
예시: 제곱근은 $2$제곱을 상쇄합니다
수학적 표현: $$\sqrt{3^2} = 3$$
예시: $2$제곱은 제곱근을 상쇄합니다
수학적 표현: $$(\sqrt{9})^2 = 9$$
추가 예시:
- $(\sqrt{12})^2 = 12$
- $\sqrt{8^2} = 8$
- $(\sqrt[3]{5})^3 = 5$
- $(\sqrt[3]{10})^3 = 10$
일반적으로 $a \ge 0$에 대해 다음과 같이 쓸 수 있습니다:
$$\sqrt[n]{a^n} = a \quad \text{그리고} \quad (\sqrt[n]{a})^n = a$$
