Números Complejos
Problema 1-1
Sea \(z = 2 - 3 i\) donde \(i\) es la unidad imaginaria. Evalúa \(z z^*\) donde \(z^*\) es el conjugado de \(z\), y escribe la respuesta en forma estándar.
Problema 1-2
Evalúa y escribe en forma estándar \( \dfrac{1-i}{2-i} \), donde \(i\) es la unidad imaginaria.
Ecuaciones Cuadráticas
Problema 2-1
Encuentra todas las soluciones de la ecuación \( x(x + 3) = - 5 \).
Problema 2-2
Encuentra todos los valores del parámetro \( m \) para los cuales la ecuación \( -2 x^2 + m x = 2 m \) tiene soluciones complejas.
Funciones
Problema 3-1
Sea \( f(x) = - x^2 + 3(x - 1) \). Evalúa y simplifica \( f(a-1)\).
Problema 3-2
Escribe, en notación de intervalo, el dominio de la función \(f\) dada por \(f(x) = \sqrt{x^2-16} \).
Problema 3-3
Encuentra y escribe, en notación de intervalo, el rango de la función \(f\) dada por \(f(x) = - x^2 - 2x + 6 \).
Problema 3-4
Sean \(f(x) = \sqrt{x - 2} \) y \(g(x) = x^2 + 2 \); evalúa \( (f \circ g)(a - 1) \) para \( a \lt 1 \).
Problema 3-5
¿Cuál de las siguientes es una función uno a uno? (Puede haber más de una respuesta).
a) \(f(x) = - 2 \quad \) b) \(g(x) = \ln(x^2 - 1) \quad \) c) \(h(x) = |x| + 2 \quad \) d) \(j(x) = 1/x + 2 \quad \) e) \(k(x) = \sin(x) + 2 \quad \) f) \(l(x) = \ln(x - 1) + 1\)
Problema 3-6
¿Cuál es la inversa de la función f dada por \(f(x) = \dfrac{-x+2}{x-1}\)?
Problema 3-7
Clasifica las siguientes funciones como pares, impares o ninguna de las dos.
a) \(f(x) = - x^3 \quad \) b) \(g(x) = |x|+ 2 \quad \) c) h(x) = \( \ln(x - 1) \)
Problema 3-8
La función \(f \) tiene un único cero en \(x = -2\). ¿Cuál es el cero de la función \(2f(2x - 5) \)?
Problema 3-9
¿Cuál de las siguientes funciones definidas a trozos tiene la gráfica que se muestra a continuación?
a) \( f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si} \; x \ge 0 \\ 2 & \text{si} \; -2 \lt x \lt 0\\ - x + 1& \text{si} \; x \le -2 \end{cases} \) b) \( g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si} \; x \gt 0 \\ 2 & \text{si} \; -2 \lt x \le 0\\ - x + 1& \text{si} \; x \le -2 \end{cases} \) c) \( h(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si} \; x \gt 0 \\ 2 & \text{si} \; -2 \lt x \lt 0\\ - x + 1 & \text{si} \; x \lt -2 \end{cases} \)
Problema 3-10
Calcula la tasa de cambio promedio de la función \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) cuando x cambia de \( x = a\) a \( x = a + h \).
Polinomios
Problema 4-1
Encuentra el cociente y el resto de la división \( \dfrac{-x^4+2x^3-x^2+5}{x^2-2} \).
Problema 4-2
Encuentra \( k \) para que el resto de la división \( \dfrac{4 x^2+2x-3}{2 x + k} \) sea igual a \( -1 \).
Problema 4-3
\( (x - 2) \) es uno de los factores de \( p(x) = -2x^4-8x^3+2x^2+32x+24 \). Factoriza \(p\) completamente.
Problema 4-4
Factoriza \( 16 x^4 - 81 \) completamente.
Problema 4-5
Encuentra todas las soluciones de la ecuación \( (x - 3)(x^2 - 4) = (- x + 3)(x^2 + 2x) \).
Problema 4-6
Resuelve la desigualdad \( (x + 2)(x^2-4x-5) \ge (-x - 2)(x+1)(x-3)\).
Problema 4-7
La gráfica de una función polinomial se muestra a continuación. ¿Cuál de las siguientes funciones podría tener posiblemente esta gráfica?
a) \( y = -(x+2)^5(x-1)^2 \quad \) b) \( y = 0.5(x+2)^3(x-1)^2 \quad \) c) \( y = -0.5(x+2)^3 (x-1)^2 \quad \) d) \( y = -(x+2)^3(x-1)^2 \)
Problema 4-8
¿Cuál de las siguientes gráficas podría ser posiblemente la de la función f dada por \( f(x) = k (x - 1)(x^2 + 4) \) donde k es una constante negativa? Encuentra k si es posible.
Expresiones, Ecuaciones, Desigualdades y Funciones Racionales
Problema 5-1
Escribe como una sola expresión racional: \( \dfrac{x^2+3x-5}{(x-1)(x+2)} - \dfrac{2}{x+2} - 1 \).
Problema 5-2
Resuelve la ecuación: \( \dfrac{- x^2+5}{x-1} = \dfrac{x-2}{x+2} - 4 \).
Problema 5-3
Resuelve la desigualdad: \( \dfrac{1}{x-1}+\dfrac{1}{x+1} \ge \dfrac{3}{x^2-1} \).
Problema 5-4
Encuentra las asíntotas horizontales y verticales de la función: \( y = \dfrac{3x^2}{5 x^2 - 2 x - 7} + 2 \).
Problema 5-5
¿Cuál de las siguientes funciones racionales tiene una asíntota oblicua? Encuentra el punto de intersección de la asíntota oblicua con la función.
a) \( y = -\dfrac{x-1}{x^2+2} \quad \) b) \( y = -\dfrac{x^4-1}{x^2+2} \quad \) c) \( y = -\dfrac{x^3 + 2x ^ 2 -1}{x^2- 2} \quad \) d) \( y = -\dfrac{x^2-1}{x^2+2}\)
Problema 5-6
¿Cuál de las siguientes gráficas podría ser la de la función \( f(x) = \dfrac{2x-2}{x-1} \)?
Trigonometría y Funciones Trigonométricas
Problema 6-1
Una rueda giratoria completa 1000 rotaciones por minuto. Determina la velocidad angular de la rueda en radianes por segundo.
Problema 6-2
Determina el valor exacto de \( \sec(-11\pi/3) \).
Problema 6-3
Convierte 1200° a radianes dando el valor exacto.
Problema 6-4
Convierte \( \dfrac{-7\pi}{9} \) a grados dando el valor exacto.
Problema 6-5
¿Cuál es el rango y el período de la función \( f(x) = -2\sin(-0.5(x - \pi/5)) - 6 \)?
Problema 6-6
¿Cuál de las siguientes gráficas podría ser la de la función dada por: \( y = - \cos(2x - \pi/4) + 2 \)?
Problema 6-7
Encuentra una posible ecuación de la forma \( y = a \sin(b x + c) + d \) para la gráfica que se muestra a continuación. (hay muchas soluciones posibles)
Problema 6-8
Encuentra el valor positivo más pequeño de x, en radianes, tal que \( - 4 \cos (2x - \pi/4) + 1 = 3 \).
Problema 6-9
Simplifica la expresión: \( \dfrac{\cot(x)\sin(x) + \cos(x) \sin^2(x)+\cos^3(x)}{\cos(x)} \).
Funciones Logarítmicas y Exponenciales
Problema 7-1
Simplifica la expresión \( \dfrac{4x^2 y^8}{8 x^3 y^5} \) usando exponentes positivos en la respuesta final.
Problema 7-2
Evalúa la expresión \( \dfrac{3^{1/3} 9^{1/3}}{4^{1/2}} \).
Problema 7-3
Reescribe la expresión \( \log_b(2x - 4) = c \) en forma exponencial.
Problema 7-4
Simplifica la expresión: \( \log_a(9) \cdot \log_3(a^2) \).
Problema 7-5
Resuelve la ecuación \( \log(x + 1) - \log(x - 1) = 2 \log(x + 1) \).
Problema 7-6
Resuelve la ecuación \( e^{2x} + e^x = 6 \).
Problema 7-7
¿Cuál es la asíntota horizontal de la gráfica de \( f(x) = 2 ( - 2 - e^{x-1}) \)?
Problema 7-8
¿Cuál es la asíntota vertical de la gráfica de \( f(x) = \log(2x - 6) + 3 \)?
Problema 7-9
Relaciona las funciones dadas con la gráfica que se muestra a continuación.
A) \( y = 2 - 0.5^{2x-1} \quad \) B) \( y = 0.5^{2x-1} \quad \) C) \( y = 2 - 0.5^{-2x+1} \quad \) D) \( y = 0.5^{-2x+1} \)
Problema 7-10
Relaciona las funciones dadas con la gráfica que se muestra a continuación.
A) \( y = 2+\ln(x-2) \quad \) B) \( y=-\log_2(x+1)-1 \quad \) C) \( y = -\ln(-x) \quad \) D) \( y = -\log_3(x+1)-1 \)
