Problemas de Álgebra 2 con Soluciones Detalladas

El conjugado de z está dado por \[ z^* = 2 + 3 i \]

Por lo tanto \[ z z^* = (2 - 3i)(2 + 3i) = 4 + 9 = 13 \]

Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador \(2 + i\)

\[ \dfrac{1-i}{2-i} = \dfrac{(1-i)(2 + i)}{(2-i)(2 + i)}\]

Simplifica: \[ = 3 / 5 - (1 / 5) i \]

Expande y escribe la ecuación en forma estándar: \[ x^2 + 3x + 5 = 0\]

Encuentra el discriminante \( \Delta \) \[ \Delta = b^2 - 4 a c = (3)^2 - 4(1)(5) = -11\]

El discriminante es negativo y por lo tanto la ecuación tiene dos soluciones complejas dadas por la fórmula cuadrática. \[ x_1 = \dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2 a} = \dfrac{-3+i\sqrt{11}}{2} = -\dfrac{3}{2} + \dfrac{\sqrt{11}}{2} i \] \[ x_2 = \dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2 a} = \dfrac{-3-i\sqrt{11}}{2} = -\dfrac{3}{2} - \dfrac{\sqrt{11}}{2} i \]

Escribe la ecuación cuadrática dada en forma estándar y encuentra el discriminante.

\[ -2 x^2 + m x - 2 m =0\]

\[ \Delta = b^2 - 4 a c = m^2 - 4(-2)(-2m) = m^2 - 16 m \]

Para que una ecuación cuadrática tenga dos soluciones complejas, su discriminante debe ser negativo. Por lo tanto, necesitamos resolver la desigualdad \( \Delta \lt 0\)

\[ m^2 - 16 m \lt 0 \]

La desigualdad anterior tiene el conjunto solución dado por el intervalo \[ (0 , 16) \]

Para evaluar \( f(a-1)\) sustituimos \( x \) por \( a - 1 \) en \( f(x) \). Por lo tanto

\[ f(a-1) = - (a-1)^2 + 3((a-1) - 1) \]

Expande y simplifica \[ f(a-1) = -a^2+5a-7 \].

El dominio de la función f es el conjunto de todos los números reales tales que f(x) tiene valores reales. Para que una raíz cuadrada sea real, el radicando no debe ser negativo. De ahí la necesidad de resolver la desigualdad

\[ x^2-16 \ge 0 \]

El conjunto solución de la desigualdad anterior, que es el dominio de f, está dado por \[ (-\infty , -4] \cup [4 , +\infty) \]

Una forma de encontrar el rango de la función cuadrática dada es reescribirla en forma canónica (vértice) completando el cuadrado.

\[ f(x) = - x^2 - 2x + 6 = - (x^2 + 2x) + 6 = -((x + 1)^2 - 1) + 6 = - (x + 1)^2 + 7\]

La gráfica de la función cuadrática dada es una parábola que se abre hacia abajo y con vértice en el punto (-1,7). Por lo tanto, el rango está dado por el intervalo \[ (-\infty , 7] \]

\( (f_o g)(x) \) es la composición de dos funciones y está dada por \[ (f_o g)(x) = f(g(x)) \]

Por lo tanto \[ (f_o g)(a - 1) = f(g(a-1)) = f((a-1)^2 + 2) = \sqrt{(a-1)^2 + 2 - 2} = \sqrt{(a-1)^2}= |a-1|\]

Dado que \( a \lt 1 \) es equivalente a \( a - 1 \lt 0 \) , la respuesta final se puede simplificar a \[ (f_o g)(a - 1) = |a-1| = - (a - 1) = - a + 1 \]

Las funciones en las partes a), b), c) son funciones pares y por lo tanto no son funciones inyectivas (uno a uno).

La función en la parte e) no es inyectiva porque es periódica.

Demostremos algebraicamente que las funciones en la parte d) y f) son inyectivas usando la contrapositiva de la definición de funciones inyectivas que es: La función f es inyectiva si: \[ f(a) = f(b) \implies a = b \]

Para la función j en la parte d); escribe la ecuación \( j(a) = j(b) \) \[ 1/a + 2 = 1/b + 2 \]

Resuelve para a \[ a = b \]. Por lo tanto j(x) en la parte d) es inyectiva.

Para la función l en la parte f); escribe la ecuación \( l(a) = l(b) \) \[ ln(a-1) + 1 = ln(b-1)+1 \]

Resuelve para a \[ ln(a-1) = ln(b-1) \]. ln(x) es una función inyectiva, por lo tanto \[ a - 1 = b - 1 \] \[ a = b \]. Por lo tanto l(x) en la parte f) es inyectiva.

Escribe la función dada como una ecuación con y = f(x) \[ y = \dfrac{-x+2}{x-1} \]

Ahora necesitamos resolver la ecuación anterior para x. Multiplica en cruz para obtener \[ y (x - 1) = (-x + 2) \]

Expande \[ yx - y = - x + 2 \]

Suma x e y a ambos lados y simplifica \[ y x + x = 2 + y \]

Factoriza x en el lado izquierdo \[ x(y + 1) = 2 + y \]

Resuelve para x \[ x = \dfrac{2 + y}{y + 1} \]

Intercambia x e y. \[ y = \dfrac{2 + x}{x + 1} \]

La inversa de f está dada por. \[ f^{-1}(x) = \dfrac{2 + x}{x + 1} \]

Una función \( f \) es par si \( f(x) = f(-x) \) y es impar si \( f(x) = - f(-x) \).

Calculemos f(-x), g(-x) y h(-x) y comparémoslos con f(x), g(x) y h(x) respectivamente

\[ f(-x) = - (-x)^3 = x^3 = - f(x) \] por lo tanto f es impar

\[ g(-x) = |- x|+ 2 = |x| + 2 = g(x) \] por lo tanto g es par

\[ h(-x) = \ln( - x - 1) \]

h(-x) no es igual ni a h(x) ni a - h(x) y por lo tanto la función no es ni par ni impar.

La función f tiene un cero en \( x = -2 \), por lo tanto \[ f(-2) = 0 \]

De ahí que, la función \( 2f(2x - 5) \) tiene un cero cuando su argumento es igual a \(-2\). Igualamos el argumento a \(-2\): \[ 2x - 5 = -2 \]

Resolviendo para \( x \), \[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2} \]

Al revisar los intervalos de definición de las diferentes partes de cada función, la función g en la parte b) tiene los intervalos y fórmulas que corresponden a la gráfica dada.

La definición de la tasa de cambio promedio (TCP) de una función \( f \) a medida que \( x \) cambia de \( x = a \) a \( x = a + h \) está dada por

\[ \text{TCP} = \dfrac{f(a+h) - f(a)}{(a+h) - a} \]

Simplifica:

\[ = \dfrac{\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}}{h} = \dfrac{1}{h}\!\left(\dfrac{1}{a+h} - \dfrac{1}{a}\right) = \dfrac{-1}{a(a+h)} \]

Usa la división larga para reescribir la división como \[ \dfrac{-x^4 + 2x^3 - x^2 + 5}{x^2 - 2} = -x^2 + 2x - 3 + \frac{4x - 1}{x^2 - 2} \]

Luego identifica el cociente \(Q\) y el residuo \(R\) como \[ Q = -x^2 + 2x - 3, \qquad R = 4x - 1 \]

Usa la división larga para reescribir la división como \[ \dfrac{4x^2 + 2x - 3}{2x + k} = Q(x) + \dfrac{R}{2x + k} \]

lo cual también puede escribirse como \[ 4x^2 + 2x - 3 = (2x + k)Q(x) + R \]

Sustituye \(x = -\dfrac{k}{2}\) en lo anterior para obtener \[ 4\left(-\dfrac{k}{2}\right)^2 + 2\left(-\dfrac{k}{2}\right) - 3 = \left(2\left(-\dfrac{k}{2}\right) + k\right) Q\!\left(-\dfrac{k}{2}\right) + R \]

Expande y simplifica, teniendo en cuenta que el término \( \left(2\left(-\dfrac{k}{2}\right) + k\right) Q\!\left(-\dfrac{k}{2}\right) \) es igual a cero. \[ k^2 - k - 3 = R \]

Sustituye \(R = -1\) (dado) y resuelve para \(k\). \[ k^2 - k - 2 = 0 \]

La ecuación anterior tiene dos soluciones: \[ k = 2 \quad \text{y} \quad k = -1 \]

Dado que \( (x - 2) \) es un factor de \( p(x) \), entonces \[ p(x) = (x - 2) Q(x) \]

\( Q(x) \) se obtiene por división. \[ Q(x) = \dfrac{p(x)}{x - 2} = -2x^3 - 12x^2 - 22x - 12 = -2(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \]

Ahora necesitamos factorizar \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \) usando el Teorema de la Raíz Racional. Los factores del término constante 6 son \( 1, 2, 3, 6 \), y el factor del coeficiente principal 1 es 1.

Las posibles soluciones están dadas por \( \pm \) las razones de los factores de 6 y los factores del coeficiente principal 1. \[ \pm \dfrac{1, 2, 3, 6}{1} \]

Podemos comprobar fácilmente que \( x = -1 \) es un cero de \( x^3 + 6x^2 + 11x + 6 \); por lo tanto \[ x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = (x + 1)Q'(x) \]

Usando la división obtenemos \[ Q'(x) = \dfrac{x^3 + 6x^2 + 11x + 6}{x + 1} = x^2 + 5x + 6 \]

La cuadrática \( x^2 + 5x + 6 \) ahora se puede factorizar fácilmente como \[ Q'(x) = x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) \]

Ahora factorizamos \( p(x) \) comenzando desde el principio. \[ \begin{aligned} p(x) &= (x - 2)Q(x) \\ &= -2(x - 2)(x^3 + 6x^2 + 11x + 6) \\ &= -2(x - 2)(x + 1)Q'(x) \\ &= -2(x - 2)(x + 1)(x + 2)(x + 3) \end{aligned} \]

Usa la diferencia de dos cuadrados para factorizar. \[ 16x^4 - 81 = (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) \]

El término \( 4x^2 - 9 \) es una diferencia de dos cuadrados, pero necesitamos escribir \( 4x^2 + 9 \) como una diferencia de dos cuadrados usando la unidad imaginaria \( i \). \[ (4x^2 - 9)(4x^2 + 9) = (4x^2 - 9)\bigl(4x^2 - (3i)^2\bigr) \]

Factoriza nuevamente usando la diferencia de dos cuadrados. \[ 16x^4 - 81 = (2x - 3)(2x + 3)(2x - 3i)(2x + 3i) \]

Reescribe la ecuación con el lado derecho igual a cero. \[ (x - 3)(x^2 - 4) - (-x + 3)(x^2 + 2x) = 0 \]

Factoriza \( (x - 3) \). \[ (x - 3)(x^2 - 4 + x^2 + 2x) = 0 \]

Agrupa. \[ (x - 3)(2x^2 + 2x - 4) = 0 \]

Resuelve las dos ecuaciones. \[ x - 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 3 \]

\[ 2x^2 + 2x - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \text{ o } x = -2 \]

El conjunto solución de la ecuación dada es \[ \{-2,\, 1,\, 3\} \]

Reescribe la desigualdad con el lado derecho igual a cero. \[ (x + 2)(x^2 - 4x - 5) - (-x - 2)(x + 1)(x - 3) \ge 0 \]

Factoriza \( (x + 2) \). \[ (x + 2)\bigl((x^2 - 4x - 5) + (x + 1)(x - 3)\bigr) \ge 0 \]

Factoriza \( x^2 - 4x - 5 \). \[ x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5) \]

Sustituye nuevamente. \[ (x + 2)\bigl((x + 1)(x - 5) + (x + 1)(x - 3)\bigr) \ge 0 \]

Factoriza completamente. \[ (x + 2)(x + 1)(2x - 8) \ge 0 \]

La expresión tiene tres ceros: \( -2, -1, 4 \). Estos dividen la recta numérica en cuatro intervalos. \[ (-\infty, -2],\; [-2, -1],\; [-1, 4],\; [4, \infty) \]

Usando valores de prueba o un cuadro de signos, el conjunto solución de la desigualdad es \[ [-2, -1] \cup [4, \infty) \]

La gráfica es la de un polinomio de grado impar con coeficiente principal negativo y, por lo tanto, la función en la parte b) no puede ser la respuesta correcta.

Las funciones en las partes a), c) y d) tienen el mismo cero en \( x = 1 \) de multiplicidad 2.

La ecuación en la parte a) tiene un segundo cero en \( x = -2 \) de multiplicidad 5 pero su intersección en y es igual a \(-32\), que es diferente de la intersección en y \(-4\) de la gráfica mostrada, y por lo tanto no puede ser la respuesta correcta.

Las ecuaciones en las partes c) y d) tienen cada una un segundo cero en \( x = -2 \) de multiplicidad 3, pero la intersección en y en la parte d) es igual a \(-8\) y por lo tanto no puede ser la respuesta correcta.

La ecuación en la parte c) tiene una intersección en y igual a \(-4\) y por lo tanto es la respuesta correcta.

La función dada tiene un cero real en \( x = 1 \) y por lo tanto su gráfica tiene una sola intersección en x en \( x = 1 \). Por lo tanto las gráficas a) (verde) y b) (azul) no pueden ser la respuesta correcta.

Como \( k \) es negativa, la gráfica d) (negra) no puede ser la respuesta, y la única respuesta posible es la gráfica c) (roja).

Si la gráfica c) es una posible solución con intersección en y igual a 4, entonces \[ f(0) = 4 \]

Simplifica y resuelve la ecuación \( f(0) = 4 \) para \( k \). \[ k(0 - 1)(0^2 + 4) = 4 \] \[ k = -1 \]

Coloca todos los términos en el mismo denominador. \[ \dfrac{x^2 + 3x - 5}{(x - 1)(x + 2)} - \dfrac{2(x - 1)}{(x - 1)(x + 2)} - \dfrac{(x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} \]

Suma y simplifica. \[ = \dfrac{x^2 + 3x - 5 - 2(x - 1) - (x - 1)(x + 2)}{(x - 1)(x + 2)} = \dfrac{-1}{(x - 1)(x + 2)} \]

Comenzamos declarando que \( x = 1 \) y \( x = -2 \) no pueden ser soluciones porque estos valores hacen que el denominador sea cero.

Multiplica todos los términos de la ecuación por \( (x - 1)(x + 2) \) para eliminar el denominador. \[ \dfrac{-x^2 + 5}{x - 1}(x - 1)(x + 2) = \dfrac{x - 2}{x + 2}(x - 1)(x + 2) - 4(x - 1)(x + 2) \]

Simplifica. \[ (-x^2 + 5)(x + 2) = (x - 2)(x - 1) - 4(x - 1)(x + 2) \]

Escribe la ecuación con cero en el lado derecho. \[ (-x^2 + 5)(x + 2) - (x - 2)(x - 1) + 4(x - 1)(x + 2) = 0 \]

Expande y agrupa el lado izquierdo. \[ -x^3 + x^2 + 12x = 0 \]

Factoriza el lado izquierdo. \[ -x(x + 3)(x - 4) = 0 \]

Conjunto solución: \( \{-3, 0, 4\} \)

Comenzamos declarando que \( x = 1 \) y \( x = -1 \) no pueden ser incluidos en el conjunto solución porque estos valores hacen que el denominador sea cero.

Reescribe la desigualdad con el lado derecho igual a cero. \[ \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{3}{x^2 - 1} \ge 0 \]

Coloca todos los términos en el mismo denominador. \[ \dfrac{x + 1}{(x - 1)(x + 1)} + \dfrac{x - 1}{(x - 1)(x + 1)} - \dfrac{3}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \]

Agrupa los términos en el lado izquierdo. \[ \dfrac{2x - 3}{(x - 1)(x + 1)} \ge 0 \]

Los ceros del numerador y denominador son \( -1,\; 1,\; \dfrac{3}{2} \)

Éstos dividen la recta numérica en cuatro intervalos: \( (-\infty, -1),\; (-1, 1),\; (1, \tfrac{3}{2}],\; [\tfrac{3}{2}, +\infty) \)

Usando valores de prueba o un cuadro de signos, el conjunto solución es \[ (-1, 1) \cup \left[\tfrac{3}{2}, +\infty\right) \]

Agrupa los términos en el lado derecho para reescribir la función dada como una razón de dos polinomios. \[ y = \dfrac{3x^2 + 2(5x^2 - 2x - 7)}{5x^2 - 2x - 7} = \dfrac{13x^2 - 4x - 14}{5x^2 - 2x - 7} \]

El grado del numerador y del denominador son iguales; por lo tanto, la asíntota horizontal es la razón de los coeficientes principales: \[ y = \dfrac{13}{5} \]

Las asíntotas verticales están dadas por los ceros del denominador. \[ 5x^2 - 2x - 7 = 0 \]

Resolviendo se obtienen las asíntotas verticales: \[ x = -1 \quad \text{y} \quad x = \dfrac{7}{5} \]

La función racional en la parte c) tiene un numerador de grado 3 y un denominador de grado 2 y por lo tanto tiene una asíntota oblicua. La asíntota oblicua es el cociente de la división del numerador entre el denominador de la función racional dada.

\[ y = -\dfrac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^2 - 2} = -(x + 2) - \dfrac{2x + 3}{x^2 - 2} \]

La asíntota oblicua tiene la ecuación \[ y = -(x + 2) \]

El punto de intersección se encuentra resolviendo \[ -\dfrac{x^3 + 2x^2 - 1}{x^2 - 2} = -(x + 2) \]

La ecuación anterior tiene una solución dada por \[ x = -\dfrac{3}{2} \]

Ahora calculamos \(y\) sustituyendo \(x = -\dfrac{3}{2}\) en la ecuación de la función o de la asíntota oblicua: \[ y = -\left(-\dfrac{3}{2} + 2\right) = -\dfrac{1}{2} \]

El punto de intersección es \[ \left(-\dfrac{3}{2}, -\dfrac{1}{2}\right) \]

La función dada se puede reescribir como \[ f(x) = \dfrac{2x - 2}{x - 1} = \dfrac{2(x - 1)}{x - 1} = 2, \quad x \ne 1 \]

Asumiendo que la gráfica tiene un hueco (discontinuidad evitable) en \(x = 1\), la gráfica correcta es la d) (roja).

Cada rotación corresponde a un ángulo de \(2\pi\) radianes. Para 1000 rotaciones, se rotan \[ 1000 \times 2\pi = 2000\pi \] radianes en un minuto.

Como hay 60 segundos en un minuto, la rueda rota \[ \dfrac{2000\pi}{60} \approx 104.7 \] radianes por segundo.

El valor absoluto del ángulo es mayor que \(2\pi\); por lo tanto lo reescribimos como una suma de un ángulo especial y un múltiplo de \(2\pi\):

\[ \sec\!\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right) = \sec\!\left(-\dfrac{12\pi}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sec(-4\pi + \dfrac{\pi}{3}) \]

Simplificando, \[ = \sec\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{\cos(\pi/3)} = \dfrac{1}{1/2} = 2 \]

Dado que \(180^\circ = \pi\) radianes, \[ 1200^\circ = \dfrac{1200\pi}{180} = \dfrac{20\pi}{3} \]

Dado que \(180^\circ = \pi\) radianes, \[ -\dfrac{7\pi}{9} = \dfrac{-7\pi}{9} \times \dfrac{180}{\pi} = -140^\circ \]

Comenzamos con el rango de la función seno \(-2\sin(-0.5(x - \pi/5))\), la cual tiene amplitud 2: \[ -2 \le -2\sin(-0.5(x - \pi/5)) \le 2 \]

Sumando \(-6\) a todas las partes se obtiene \[ -8 \le -2\sin(-0.5(x - \pi/5)) - 6 \le -4 \]

Por lo tanto, el rango es \[ [-8, -4] \]

Para una función de la forma \(y = a\sin(bx + c) + d\), el período es \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} = \dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \]

Una forma de graficar la función dada es mediante transformaciones sucesivas. Comenzamos con \(y = \cos(2x)\).

Luego, grafica \(y = \cos(2x - \pi/4)\) desplazándola hacia la derecha por \(\pi/8\).

Refleja sobre el eje x para obtener \(y = -\cos(2x - \pi/4)\).

Finalmente, desplázala hacia arriba 2 unidades para obtener \(y = -\cos(2x - \pi/4) + 2\).

Esta gráfica coincide con la opción b).

Un período es la distancia de un ciclo que va desde \( x = 0 \) hasta \( x = 4\pi \); por lo tanto el período es \[ 4\pi \]

También conocemos la fórmula del período \( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \); por lo tanto \[ 4\pi = \dfrac{2\pi}{|b|} \]

Resuelve para \( b \) para obtener \[ b = 0.5 \quad \text{o} \quad b = -0.5 \]

Usemos \( b = 0.5 \); por lo tanto comenzamos escribiendo la función a encontrar como \[ y = a \sin(0.5x + c) + d \]

Sea \( y_{\max} \) el valor máximo de \( y \) y \( y_{\min} \) el valor mínimo de \( y \). La amplitud \( |a| \) está dada por \[ |a| = \frac{y_{\max} - y_{\min}}{2} = \frac{-1 - (-3)}{2} = 1 \]

Dos valores posibles para \( a \) son \( 1 \) y \( -1 \). Usa \( a = 1 \); la función se convierte en \[ y = \sin(0.5x + c) + d \]

El valor de \( d \) está dado por \[ d = \frac{y_{\max} + y_{\min}}{2} = \frac{-1 + (-3)}{2} = -2 \]

La función a encontrar es \[ y = \sin(0.5x + c) - 2 \]

La gráfica dada no tiene desplazamiento horizontal; por lo tanto \( c = 0 \) y la ecuación es \[ y = \sin(0.5x) - 2 \]

Resolvemos la ecuación trigonométrica dada y seleccionamos la solución positiva más pequeña. Reescribe la ecuación como \[ \cos(2x - \pi/4) = -\frac{1}{2} \]

Sea \( t = 2x - \pi/4 \). Entonces \[ \cos(t) = -\frac{1}{2} \]

Resolver para \( t \) da las soluciones infinitas \[ t_1 = \frac{2\pi}{3} + k(2\pi), \qquad t_2 = \frac{4\pi}{3} + k(2\pi) \]

Sustituye nuevamente \( t = 2x - \pi/4 \): \[ 2x_1 - \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} + k(2\pi), \qquad 2x_2 - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi}{3} + k(2\pi) \]

Resolver para \( x \) da \[ x_1 = \frac{11\pi}{24} + k\pi, \qquad x_2 = \frac{19\pi}{24} + k\pi \]

La solución positiva más pequeña ocurre cuando \( k = 0 \): \[ x = \frac{11\pi}{24} \]

Usando la identidad \( \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} \), reescribe la expresión como \[ \frac{\cot(x)\sin(x) + \cos(x)\sin^2(x) + \cos^3(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos(x) + \cos(x)(\sin^2(x)+\cos^2(x))}{\cos(x)} \]

Usando la identidad \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \), obtenemos \[ \frac{\cos(x) + \cos(x)}{\cos(x)} = 2 \]

Reescribe la expresión en razones de términos semejantes: \[ \frac{4x^2 y^8}{8x^3 y^5} = \left(\frac{4}{8}\right) \left(\frac{x^2}{x^3}\right) \left(\frac{y^8}{y^5}\right) \]

Usando las reglas de los exponentes: \[ = \frac{1}{2} x^{2-3} y^{8-5} = \frac{1}{2}\frac{y^3}{x} \]

Reescribe \( 9 \) como \( 3^2 \): \[ \frac{3^{1/3} 9^{1/3}}{4^{1/2}} = \frac{3^{1/3}(3^2)^{1/3}}{4^{1/2}} \]

Usando las reglas de los exponentes: \[ = \frac{3^{1/3+2/3}}{2} = \frac{3}{2} \]

Las funciones logarítmicas y exponenciales de la misma base son inversas; por lo tanto \[ 2x - 4 = b^c \]

Usando la fórmula de cambio de base: \[ \log_a(9)\log_3(a^2) = \log_a(9)\frac{\log_a(a^2)}{\log_a(3)} \]

Reescribe \( 9 = 3^2 \) y simplifica: \[ = 2\log_a(3)\frac{2}{\log_a(3)} = 4 \]

Reescribe la ecuación: \[ \log\!\left(\frac{x+1}{x-1}\right) = \log(x+1)^2 \]

Dado que los logaritmos son funciones inyectivas: \[ \frac{x+1}{x-1} = (x+1)^2 \]

Multiplica en cruz: \[ x+1 = (x-1)(x+1)^2 \]

Resolviendo se obtiene: \[ (x-1)(2-x^2) = 0 \]

Las soluciones son: \[ x = 1, \quad x = \sqrt{2}, \quad x = -\sqrt{2} \]

Sólo se permiten argumentos positivos en los logaritmos, por lo que la solución válida es \[ x = \sqrt{2} \]

Sea \( z = e^x \) y reescribe la ecuación en términos de \( z \). \[ z^2 + z - 6 = 0 \]

Resuelve para \( z \) para obtener \[ z = 2 \quad \text{y} \quad z = -3 \]

Sustituye \( z \) por \( e^x \) y resuelve para \( x \). \[ e^x = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \ln(2) \] \[ e^x = -3 \quad \text{no tiene solución} \]

La ecuación dada tiene una solución \[ x = \ln(2) \]

A medida que \( x \) se hace muy grande, el término \( e^{x-1} \) se acerca a cero y el único término que queda es \[ y = 2(-2) = -4 \]

que es la ecuación de la asíntota horizontal de la función dada.

A medida que el argumento de la función logarítmica \( 2x - 6 \) se acerca a cero desde la derecha, \( f(x) \) se acerca a valores muy pequeños (infinito negativo). Por lo tanto, la asíntota vertical se encuentra resolviendo \[ 2x - 6 = 0 \]

Solución: \[ x = 3 \]

que es la ecuación de la asíntota vertical de la función dada.

Las funciones en la parte A) y la parte C) están dadas por \[ y = 2 - 0.5^{\,2x-1} \quad \text{y} \quad y = 2 - 0.5^{-2x+1} \]

Ambas tienen la misma asíntota horizontal \( y = 2 \).

Una función de la forma \( 0.5^{2x} \) es una función exponencial con base \( 0.5 \) y por lo tanto es decreciente. Sin embargo, \( -0.5^{2x} \) es creciente debido al signo negativo. La gráfica en la parte d) es creciente y tiene una asíntota horizontal \( y = 2 \).

Por lo tanto, la función A) corresponde a la gráfica d), y la función C) corresponde a la gráfica a).

Las funciones en la parte B) y la parte D) están dadas por \[ y = 0.5^{\,2x-1} \quad \text{y} \quad y = 0.5^{-2x+1} \]

Ambas tienen la misma asíntota horizontal \( y = 0 \).

La función \( 0.5^{2x-1} \) es decreciente, mientras que \( 0.5^{-2x} \) es creciente debido al signo negativo en el exponente. La gráfica en la parte c) es decreciente y tiene una asíntota horizontal \( y = 0 \).

Por lo tanto, la función B) corresponde a la gráfica c), y la función D) corresponde a la gráfica b).

La función en la parte A) es \[ y = 2 + \ln(x - 2) \]

Tiene una asíntota vertical dada por \( x - 2 = 0 \), lo que resulta en \( x = 2 \). La gráfica en la parte d) tiene una asíntota vertical en \( x = 2 \) y por lo tanto corresponde a la función A).

La función en la parte C) es \[ y = -\ln(-x) \]

Tiene una asíntota vertical dada por \( -x = 0 \), lo que resulta en \( x = 0 \). La gráfica en la parte a) tiene una asíntota vertical en \( x = 0 \) y por lo tanto corresponde a la función C).

Las funciones en las partes B) y D) son \[ y = -\log_2(x+1) - 1 \quad \text{y} \quad y = -\log_3(x+1) - 1 \]

Ambas tienen una asíntota vertical en \( x = -1 \) y la misma intersección en y \( (0,-1) \).

Evaluando en \( x = 1 \), la función en la parte B) da \( y = -2 \). El punto \( (1,-2) \) se encuentra en la gráfica c). Por lo tanto, la función B) corresponde a la gráfica c), y la función D) corresponde a la gráfica b).