La definición y las propiedades de la mediatriz se presentan junto con problemas y sus soluciones detalladas.
Tenga en cuenta que las figuras a continuación no están dibujadas a escala y, por lo tanto, los problemas no deben resolverse utilizando los tamaños de los ángulos, segmentos, ... en las figuras.
La mediatriz de un segmento de recta AB es una recta que es perpendicular a AB y pasa por el punto medio del segmento AB. (ver figura abajo).
\( \overline{MA} = \overline{MB} \)
Para construir una mediatriz del segmento \( AB\), podemos proceder de la siguiente manera:
1 - dibujar dos círculos con centro en A y B y con radios iguales mayores que la mitad de la longitud del segmento \( AB \).
2 - conectar las intersecciones P y Q de los dos círculos para trazar una recta. Esta recta es perpendicular a AB y pasa por el punto medio M del segmento AB. (ver figura abajo).
Problema 1
En la figura a continuación, \( DE \) es la mediatriz del segmento \( AB \) cuya longitud es igual a \( 4 \) unidades.
a) Encuentre la medida del ángulo \( x \).
b) Encuentre el área del triángulo \( ABC \).
Solución al Problema 1
a)
Dado que \( DE \) es la mediatriz del segmento \( AB \), \( DE \) y \( AB \) son perpendiculares y por lo tanto \( \angle CFA = 90^{\circ} \) y la suma de todos los ángulos del triángulo \( AFC \) es igual a \( 180^{\circ} \)
\( 36^{\circ} + \angle ACF + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
Despeje \( \angle ACF \) para obtener
\( \angle ACF = 54^{\circ} \)
Los ángulos \( \angle ACF \) y \( x \) son opuestos por el vértice y por lo tanto congruentes; de ahí que \( x = 54^{\circ} \)
b)
\( FC \) es la altura del triángulo \( ABC \) y su longitud está dada por
\( \overline{FC} = \overline{FA} \tan(36^{\circ}) \)
Dado que \(DE \) es una mediatriz, \( \overline{AB} = 4 \) y \( \overline{FA} \) está dado por
\( \overline{FA} = \dfrac{1}{2} \overline{AB} = 2 \)
El área \( A \) del triángulo \( ABC \) está dada por
\( A = \dfrac{1}{2} \times base \times altura \)
Sustituya
\( A = \dfrac{1}{2} \times \overline{AB} \times \overline{FC} \)
Sustituya con valores numéricos
\( A = \dfrac{1}{2} \times 4 \times 2 \times \tan(36^{\circ}) \approx 2.9\) unidades cuadradas
Problema 2
En la figura a continuación, \( DM \) es la mediatriz del segmento \( AB \) cuya longitud es igual a \( 4 \) unidades y \( DN \) es la mediatriz del segmento \( BC \) cuya longitud es igual a \( 6 \) unidades.
Encuentre el área del cuadrilátero \( MDNB \) si la longitud del segmento \( BD \) es igual a \( 7 \) unidades.
Solución al Problema 2
El cuadrilátero \( MDNB \) no es ninguno de los cuadriláteros cuya fórmula del área es conocida, por lo tanto, necesitamos dividirlo en figuras cuya área pueda calcularse.
Aquí se sugiere calcular el área del cuadrilátero \( MDNB \) como la suma de las áreas de los triángulos \( BDM \) y \( BDN \). (ver figura abajo)
Dado que \( DM \) es una mediatriz del segmento \( AB \), concluimos que
\( \overline{MB} = \dfrac{1}{2} \overline{AB} = 2 \)
y \( BDM \) es un triángulo rectángulo. (ver figura abajo)
Usando el teorema de Pitágoras , podemos escribir
\( \overline{BD}^2 = \overline{MB}^2 + \overline{MD}^2 \)
Sustituya las cantidades conocidas
\( 7^2 = 2^2 + \overline{MD}^2 \)
Despeje \( \overline{MD} \)
\( \overline{MD} = \sqrt{45} = 3 \sqrt 5\)
Dado que \( DN \) es una mediatriz del segmento \( BC \), concluimos que
\( \overline{NB} = \dfrac{1}{2} \overline{BC} = 3 \)
y \( BDN \) es un triángulo rectángulo.
Use el teorema de Pitágoras para escribir
\( \overline{BD}^2 = \overline{NB}^2 + \overline{ND}^2 \)
Sustituya las cantidades conocidas
\( 7^2 = 3^2 + \overline{ND}^2 \)
Despeje \( \overline{ND} \)
\( \overline{ND} = \sqrt{40} = 2 \sqrt {10}\)
Área del triángulo \( BDM = \dfrac{1}{2} \overline{MB} \overline{MD} = \dfrac{1}{2} \times 2 \times 3 \sqrt 5 = 3 \sqrt 5 \)
Área del triángulo \( BDN = \dfrac{1}{2} \overline{NB} \overline{ND} = \dfrac{1}{2} \times 3 \times 2 \sqrt {10} = 3 \sqrt {10} \)
El área \( A \) del cuadrilátero \( MDNB \) como la suma de las áreas de los triángulos \( BDM \) y \( BDN \), por lo tanto
\( A = 3 \sqrt 5 + 3 \sqrt {10} = 3 (\sqrt 5 + \sqrt {10}) \approx 16.2 \) unidades cuadradas.
Problema 3
En la figura a continuación, \( AD \) es paralela a \( BC \) y \( FE \) es la mediatriz del segmento \( AD \) cuya longitud es igual a la mitad de la longitud del segmento \( BC \).
Encuentre la razón del área del triángulo \( AEF \) dado que el área del trapecio \( ABCD\) es 120 unidades cuadradas.
Solución al Problema 3
Dado que \( FE \) es una mediatriz del segmento \( AD \), concluimos que
\( \overline{AF} = \dfrac{1}{2} \overline{AD}\)
y
\( AEF \) es un triángulo rectángulo. (ver figura abajo)
El área \( A_1 \) del triángulo \( AEF \) está dada por
\( A_1 = \dfrac{1}{2} \times \overline{AF} \times \overline{EF} \)
El área \( A_2 \) del trapecio \( ABCD \) está dada por
\( A_2 = \dfrac{1}{2} \times (\overline{BC} + \overline{AD} ) \times \overline{EF} \)
La razón \( \dfrac{A_2}{A_1} \) está dada por
\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{\dfrac{1}{2} \times (\overline{BC} + \overline{AD} ) \times \overline{EF}}{\dfrac{1}{2} \times \overline{AF} \times \overline{EF}} \)
Simplifique
\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{\overline{BC} + \overline{AD} }{\overline{AF} } \)
También se nos da que
\( \overline{AD} = \dfrac{1}{2} \overline{BC} \)
Por lo tanto
\( \overline{AF} = \dfrac{1}{2} \overline{AD} = \dfrac{1}{4} \overline{BC}\)
Sustituya
\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{\overline{BC} + \dfrac{1}{2} \overline{BC} }{\dfrac{1}{4} \overline{BC}} \)
Simplifique
\( \dfrac{A_2}{A_1} = \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{2} }{\dfrac{1}{4}} = 6 \)
Por lo tanto
\( A_1 = \dfrac{A_2}{6} = \dfrac{120}{6} = 20 \) unidades cuadradas