El teorema del semicírculo (de Tales) [1] establece que para un triángulo inscrito en un semicírculo de diámetro \( AB \), como se muestra en la figura a continuación, el ángulo \( ACB \) tiene un tamaño de \( 90^{\circ} \).
Nota que ninguna de las figuras a continuación está dibujada a escala.
Pregunta 1
En la figura a continuación, \( A\), \( B \) y \( D \) son puntos en el círculo y \( AB \) pasa por el centro \( O \) del círculo cuyo radio \( r = 10 \).
1) Encuentra todos los ángulos y lados del triángulo \( ADB \).
2) Encuentra el tamaño del ángulo \( \angle AOD \).
Solución
1)
Según el teorema del semicírculo anterior, \( \angle ADB = 90^{\circ} \) y por lo tanto \( \angle DBA = 90^{\circ} - 63^{\circ} = 27^{\circ} \)
\( AB = 2 r = 20 \) ,
\( ADB \) es un triángulo rectángulo y por lo tanto \( \quad \cos 63^{\circ} = \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AD}{20} \) y \( \quad \sin 63^{\circ} = \dfrac{DB}{AB} = \dfrac{DB}{20} \)
Lo anterior da: \( \quad AD = 20 \cos 63^{\circ} \) y \( \quad DB = 20 \sin 63^{\circ} \)
2)
\( \angle AOD \) es un ángulo central que intersecta el mismo arco que el ángulo inscrito \( \angle DBA \), por lo tanto \( \angle AOD = 2 \angle DBA = 54^{\circ}\)
Pregunta 2
En la figura a continuación, \( A\), \( B \), \( C \) y \( D \) son puntos en un círculo y \( AC \) es su diámetro.
1) Encuentra \( x \) dadas las longitudes de los segmentos \( \quad DA = x-4 , DC = x+2, BA = x-2 \) y \( BC = x + 1 \).
2) Encuentra el radio del círculo.
3) Encuentra el área del cuadrilátero \( ABCD\).
Solución
1)
Según el teorema del semicírculo anterior, \( CAB \) y \( CAD \) son triángulos rectángulos con una hipotenusa común. Usa el teorema de Pitágoras para escribir:
\( (x-4)^2 + (x+2)^2 = AC^2\) (I)
y \( (x-2)^2 + (x+1)^2 = AC^2\) (II)
Combinando (I) y (II) arriba, obtenemos la ecuación: \( \quad (x-4)^2 + (x+2)^2 = (x-2)^2 + (x+1)^2 \)
Expande: \( 2x^2-4x+20 = 2x^2-2x+5 \)
Agrupa términos semejantes y simplifica para reescribir la ecuación anterior como: \( \quad -2x+15 = 0 \)
Resuelve para \( x \): \( \quad x = \dfrac{15}{2} \)
2)
El radio \( r \) del círculo es igual a la mitad del diámetro \( AC \)
Sustituye \( x \) por su valor en (I) para escribir: \( \quad AC^2 = \left(\dfrac{15}{2}-4\right)^2 + \left(\dfrac{15}{2}+2\right)^2 = \dfrac{205}{2} \)
\( AC = \sqrt {\dfrac{205}{2}} \) , por lo tanto \( \quad r = \dfrac{1}{2} \sqrt {\dfrac{205}{2}} \)
3)
El área \( A_1 \) del triángulo rectángulo \( CAB \) está dada por: \( \quad A_1 = \dfrac{1}{2} \times BA \times BC = \dfrac{1}{2} (x-2)(x+1) \)
El área \( A_2 \) del triángulo rectángulo \( CAD \) está dada por: \( \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \times DA \times DC = \dfrac{1}{2} (x-4)(x+2) \)
El área \( A \) del cuadrilátero \( ABCD\) es la suma de las áreas \( A_1 \) y \( A_2 \) de los triángulos \( CAB \) y \( CAD \)
\( A = A_1 + A_2 = \dfrac{1}{2} ( (x-2)(x+1) + (x-4)(x+2) ) \)
Sustituye \( x \) por su valor encontrado arriba: \( A = \dfrac{1}{2} \left( \left(\dfrac{15}{2}-2\right)\left(\dfrac{15}{2}+1\right) + \left(\dfrac{15}{2}-4\right)\left(\dfrac{15}{2}+2\right) \right) = 40 \) unidades cuadradas.
Pregunta 3
En la figura a continuación, \( A\), \( B \) y \( C \) son puntos en un semicírculo cuyo diámetro es \( AB = 50\). Los lados \( CA \) y \( CB \) del triángulo \( ABC \) son congruentes.
1) Encuentra las longitudes de \( CA \) y \( CB \)
2) Encuentra el área de la superficie sombreada (azul).
Solución
1)
Según el teorema del semicírculo anterior, \( ACB \) es un triángulo rectángulo. Usa el teorema de Pitágoras para escribir: \( \quad CA^2 + CB^2 = AB^2 \)
Dado que \( AB = 50\) y \( CA \) y \( CB \) son congruentes, lo anterior da la ecuación: \( \quad 2 CA^2 = 50^2 \)
Resuelve para \( CA \) para obtener: \( \quad CA = \dfrac{50}{\sqrt 2} = CB \)
2)
Sea \( A_s \) el área del semicírculo, \( A_t \) el área del triángulo \( ACB \) y \( r \) el radio del semicírculo.
\( A_s = \dfrac{1}{2} \pi r^2 = \dfrac{1}{2} \pi \left(\dfrac{AB}{2}\right)^2 = \dfrac{25^2}{2} \pi \)
\( A_t = \dfrac{1}{2} \times CA \times CB = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{50^2}{ 2 } \)
El área sombreada \( A \) es el área del triángulo \( A_t \) restada del área del semicírculo \( A_s \).
\( A = \dfrac{25^2}{2} \pi - \dfrac{1}{2} \times \dfrac{50^2}{ 2 } = \dfrac{625\pi }{2}-625 \approx 356.75\) unidades cuadradas.
Pregunta 4
\( C \) es un punto en el círculo cuyo diámetro es \( AB = 100 \) y centro \( O \).
1) Encuentra los ángulos \( \angle COB \) y \( \angle COA \)
2) Encuentra las áreas de los triángulos \( COA \) y \( COB \).
3) Encuentra la longitud de \( CA \) y \( CB \).
4) Encuentra el área del triángulo \( ACB \)
5) Compara el área del triángulo \( ACB \) encontrada en la parte 4) con la suma de las áreas encontradas en la parte 2).
Solución
1)
Los puntos \( A \), \( C \) y \( B \) están en el círculo de centro \( O \) y por lo tanto \( OA = OB = OC \). Por lo tanto, \( AOC \) y \( COB \) son triángulos isósceles y por consiguiente
\( \angle OCB = \angle CBO = 62^{\circ} \) lo que da \( \angle COB = 180 - 62 - 62 = 56^{\circ} \)
\( \angle COB \) y \( \angle COA \) forman un ángulo llano; por lo tanto \( \angle COA = 180 - \angle COB = 124^{\circ}\)
2)
Usa la fórmula de la regla del seno para encontrar el área \( A_1 \) del triángulo \( COA \): \( \quad A_1 = \dfrac{1}{2} \sin \angle COA \times OC \times OA = \dfrac{1}{2} \sin 124^{\circ} \times 50 \times 50 = 1250 \sin 124^{\circ} \approx 1036.30\) unidades cuadradas
De manera similar, el área \( A_2 \) del triángulo \( COB \) está dada por: \( \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \sin \angle COB \times OC \times OB = \dfrac{1}{2} \sin 56^{\circ} \times 50 \times 50 = 1250 \sin 56^{\circ} \approx 1036.30 \) unidades cuadradas
3)
Según el teorema del semicírculo , \( ACB \) es un triángulo rectángulo con \( AB \) como hipotenusa. Por lo tanto \( \sin 62^{\circ} = \dfrac{CA}{AB} \) y \( \cos 62^{\circ} = \dfrac{CB}{AB} \)
Lo anterior da \( CA = 100 \sin 62^{\circ} \) y \( CB = 100 \cos 62^{\circ} \)
4)
El área \( A \) del triángulo rectángulo \( ACB \) está dada por: \( A = \dfrac{1}{2} \times CA \times CB = \dfrac{1}{2} 100^2 \sin 62^{\circ} \cos 62^{\circ} \approx 2072.59\) unidades cuadradas
5)
La suma de las áreas en la parte 2) es: \( \quad A_1 + A_2 = 1036.30 + 1036.30 \approx 2072.60 \) es muy cercana a \( A \approx 2072.59\). La pequeña diferencia se debe a errores de redondeo en los cálculos.
De hecho, la suma de las áreas \( COA \) y \( COB \) es igual al área del triángulo \( ACB \).