Tangentes a un Círculo con Preguntas y Soluciones

Tangente a un Círculo

Una tangente a un círculo toca el círculo en un solo punto. En la siguiente figura, la tangente \( T \) corta al círculo en el punto \( P \), llamado punto de tangencia.

Una propiedad importante de la tangente a un círculo es que la tangente \( T \) y el radio \( OP \) son perpendiculares.

Dos Tangentes que se Intersecan en un Círculo

En la siguiente figura, \( MA \) y \( MB \) son tangentes al mismo círculo con centro \( O \). Las dos tangentes se intersecan en el punto \( M \).

Las propiedades más importantes son:

1. \( MO \) es una bisectriz de ángulo de \( \angle AMB \).
2. \( OM \) es una bisectriz de ángulo de \( \angle AOB \).
3. los triángulos rectángulos \( \triangle AMO \) y \( \triangle BMO \) son congruentes.

Preguntas Con Soluciones

Pregunta 1
En la siguiente figura, \( MA \) y \( MB \) son tangentes al círculo con centro \( O \). \( MO \) corta al círculo en el punto \( N \) de manera que la longitud de \( MN \) es igual a \( 8 \) unidades y la longitud de \( MA \) es igual a \( 16 \).
1) Encuentre el radio del círculo.
2) Encuentre la magnitud del ángulo \( AOB \).
3) Encuentre el área del sector sombreado (en azul).

Solución
1) La tangente \( MA \) forma un ángulo de \( 90^{\circ} \) con el radio \( OA \) y, por lo tanto, \( OAM \) es un triángulo rectángulo. Usando el teorema de Pitágoras, escribimos la ecuación: \( \quad OA^2 + AM^2 = (8 + ON)^2 \).
Sea \( r = OA = ON \) el radio del círculo y reescriba la ecuación anterior como: \( \quad r^2 + 16^2 = (8 + r)^2 \).
Expanda el lado derecho de la ecuación: \( \quad r^2 + 16^2 = 8^2 + 16 r + r^2 \).
Agrupe términos semejantes, simplifique y reescriba la ecuación anterior como: \( \quad 16^2 - 8^2 = 16 r \).
Resuelva para \( r \) para obtener: \( \quad r = 12 \).
2) Primero, encontremos la magnitud del ángulo \( AOM \) usando la fórmula de la tangente: \( \quad \tan \angle AOM = \dfrac{AM}{OA} = \dfrac{16}{12} = \dfrac{4}{3} \).
Por lo tanto: \( \quad \angle AOM = \arctan (4/3) \).
\( OM \) biseca \( \angle AOB \), por lo tanto \( \quad \angle AOB = 2 \angle AOM = 2 \arctan(4/3) \).
3) Use la fórmula del área de un sector para calcular el área \( A_s \) del sector sombreado como: \( \quad A_s = (1/2) \times \angle AOB \times r^2 = (1/2) \times 2 \arctan(4/3) \times 12^2 \approx 133.53 \) unidades cuadradas.

Pregunta 2
En la siguiente figura, \( MA \) y \( MB \) son tangentes al círculo con centro \( O \). \( MO \) corta al círculo en el punto \( N \) y la longitud del arco \( ANB \) es igual a \( 22 \) unidades. El radio del círculo es igual a \( 8 \).
Encuentre la distancia desde \( N \) hasta \( M \).

Solución
Sea \( r \) el radio del círculo. La longitud del arco \( ANB \) está dada por la fórmula: \( S = \angle AOB \times r \).
Resuelva para \( \angle AOB \): \( \quad \angle AOB = \dfrac{S}{r} = \dfrac{22}{8} \).
\( OM \) biseca el ángulo \( AOB \); por lo tanto \( \quad \angle AOM = \dfrac{\angle AOB}{2} = \dfrac{22}{16} \).
Use el triángulo rectángulo \( OAM \) para escribir: \( \cos \angle AOM = \dfrac{r}{OM} \).
Por lo tanto: \( OM = \dfrac{r}{\cos \angle AOM } = \dfrac{8}{\cos \dfrac{22}{16}} \approx 41.12 \).
\( NM = OM - r = 41.12 - 8 \approx 33.12 \) unidades.

Pregunta 3
En la siguiente figura, \( MA \) y \( MB \) son tangentes al círculo con centro \( O \). El radio del círculo es igual a \( 20 \).
1) Encuentre la magnitud del ángulo \( \angle AOB \).
2) Encuentre la magnitud del ángulo \( \angle AOM \).
3) Encuentre la longitud del segmento \( AM \).
4) Encuentre la longitud del segmento \( OM \).
5) Encuentre la magnitud del ángulo \( \angle ACB \) donde \( C \) es un punto en el círculo.

Solución
1) Dado que \( MA \) y \( MB \) son tangentes al círculo y \( OB \) y \( OA \) son radios, \( \angle MAO \) y \( \angle MBO \) son ángulos rectos.
La suma de todos los ángulos interiores en el cuadrilátero \( MAOB \) es igual a \( 360^{\circ} \), por lo tanto: \( \quad \angle AOB + 90^{\circ} + 40^{\circ} + 90^{\circ} = 360^{\circ} \).
Resuelva lo anterior para obtener: \( \quad \angle AOB = 140^{\circ} \).
2) \( OM \) biseca el ángulo \( \angle AOB \); por lo tanto \( \angle AOM = \dfrac {\angle AOB}{2} = 70^{\circ} \).
3) \( AOM \) es un triángulo rectángulo, por lo tanto \( \quad \tan \angle AOM = \dfrac{AM}{OA} \).
Por lo tanto, \( \quad AM = OA \times \tan \angle AOM = 20 \times \tan 70^{\circ} = 54.95 \).
4) Usando el mismo triángulo que en la parte 3), \( \quad \cos \angle AOM = \dfrac{OA}{OM} \).
Por lo tanto, \( \quad OM = \dfrac{OA}{\cos \angle AOM} = \dfrac{20}{\cos 70^{\circ} } = 58.48 \).
5) El ángulo \( \angle ACB \) es un ángulo inscrito y \( \angle AOB \) es un ángulo central y ambos ángulos intersecan el mismo arco \( AB \); por lo tanto \( \angle ACB = (1/2) \times AOB = 70^{\circ} \).

Más Referencias y Enlaces