Este tutorial explica cómo determinar la concavidad de funciones cuadráticas utilizando la segunda derivada y el coeficiente principal.
Concavidad de Funciones Cuadráticas
La concavidad de una función está determinada por el signo de su segunda derivada. Para una función cuadrática de la forma:
\[ f(x) = a x^{2} + b x + c, \quad a \neq 0 \]La primera y segunda derivadas son:
\[ f'(x) = 2 a x + b \] \[ f''(x) = 2 a \]Dado que \( f''(x) \) es constante y depende únicamente de \( a \), la concavidad de la parábola está determinada por el signo de \( a \):
- Si \( a > 0 \), entonces \( f''(x) > 0 \) y la gráfica es cóncava hacia arriba.
- Si \( a < 0 \), entonces \( f''(x) < 0 \) y la gráfica es cóncava hacia abajo.
Ejemplos Resueltos
A continuación se presentan ejemplos que ilustran estos casos con soluciones detalladas.
Ejemplo 1: Concavidad de una Función Cuadrática
Determina la concavidad de la función cuadrática:
\[ f(x) = (2 - x)(x - 3) + 3 \]Solución del Ejemplo 1
Primero, desarrollamos y reescribimos \( f(x) \):
\[ f(x) = -x^{2} + 5x - 3 \]El coeficiente principal \( a = -1 \) es negativo, por lo que la gráfica es cóncava hacia abajo.
Ejemplo 2: Concavidad de una Función Cuadrática
Determina la concavidad de la función cuadrática:
\[ f(x) = -2(x - 1)(x - 2) + 3 x^{2} \]Solución del Ejemplo 2
Desarrollamos y simplificamos \( f(x) \):
\[ f(x) = x^{2} + 6x - 4 \]El coeficiente principal \( a = 1 \) es positivo, por lo que la gráfica es cóncava hacia arriba.
Ejercicios y Respuestas
Determina la concavidad de cada función cuadrática a continuación:
- \( f(x) = (2 - x)(4 - x) \)
- \( f(x) = -2(x - 3)^{2} - 5 \)
- \( f(x) = x(x + 3) - 2(x - 3)^{2} \)
Respuestas
- Cóncava hacia arriba (Al desarrollar se obtiene \( x^2 - 6x + 8 \), donde \( a = 1 > 0 \))
- Cóncava hacia abajo (Al desarrollar se obtiene \( -2x^2 + 12x - 23 \), donde \( a = -2 < 0 \))
- Cóncava hacia abajo (Al desarrollar se obtiene \( -x^2 + 15x - 18 \), donde \( a = -1 < 0 \))