La derivación se utiliza para analizar propiedades clave de las funciones cuadráticas, tales como los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los máximos locales y los mínimos locales.
A - Función Cuadrática en Forma General
Las funciones cuadráticas en su forma general se escriben como:
donde \(a\), \(b\) y \(c\) son números reales con \(a \neq 0\).
La primera derivada de \(f\) es:
\[ f'(x) = 2 a x + b \]Para determinar los puntos máximos o mínimos y los intervalos de crecimiento o decrecimiento, analizamos el signo de \(f'(x)\). La derivada es positiva si:
\[ 2 a x + b > 0 \quad \Rightarrow \quad 2 a x > -b \]Consideramos dos casos basados en el signo de \(a\):
Caso 1: \(a > 0\)
Dividiendo ambos lados de la desigualdad entre \(2a > 0\), obtenemos:
\[ x > -\dfrac{b}{2a} \]La tabla a continuación resume el signo de \(f'(x)\) y si \(f\) es creciente o decreciente:
Por lo tanto, la función cuadrática tiene un mínimo en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), es decreciente en \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) y es creciente en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).
Caso 2: \(a < 0\)
Dividiendo ambos lados entre \(2a < 0\) se invierte la desigualdad:
\[ x < -\dfrac{b}{2a} \]El signo de \(f'(x)\) se analiza utilizando la siguiente tabla:
En este caso, la función cuadrática tiene un máximo en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\), es creciente en \((-\infty, -\dfrac{b}{2a})\) y es decreciente en \(\left(-\dfrac{b}{2a}, +\infty\right)\).
B - Función Cuadrática en Forma Canónica (Vértice)
Las funciones cuadráticas en forma canónica se escriben como:
donde \(a \neq 0\), y \(h, k\) son números reales.
La derivada es:
\[ f'(x) = 2 a (x - h) \]Analizamos el signo de \(f'(x)\) considerando:
\[ a (x - h) > 0 \]Caso 1: \(a > 0\)
Dividiendo ambos lados entre \(a > 0\):
\[ x > h \]Usa la siguiente tabla para analizar el signo:
Por lo tanto, la función cuadrática tiene un mínimo en \((h, k)\), es decreciente en \((-\infty, h)\) y es creciente en \((h, +\infty)\).
Caso 2: \(a < 0\)
Dividiendo ambos lados entre \(a < 0\) se invierte la desigualdad:
\[ x < h \]El signo de \(f'(x)\) se analiza utilizando:
Aquí, la función cuadrática tiene un máximo en \((h, k)\), es creciente en \((-\infty, h)\) y es decreciente en \((h, +\infty)\).
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1: Encuentra el extremo de \( f(x) = 2x^2 - 8x + 1 \)
Primero, encuentra la derivada:
\[ f'(x) = 4x - 8 \]La derivada cambia de signo en \(x = \dfrac{8}{4} = 2\). Como \(a = 2 > 0\), \(f\) tiene un mínimo en \((2, f(2)) = (2, -7)\).
Comportamiento de la función:
- Decreciente en \((-\infty, 2)\)
- Creciente en \((2, +\infty)\)
Ejemplo 2: Encuentra el extremo de \( f(x) = - (x + 3)^2 + 1 \)
La derivada es:
\[ f'(x) = -2(x + 3) \]La derivada cambia de signo en \(x = -3\). Como \(a = -1 < 0\), \(f\) tiene un máximo en \((-3, 1)\).
Comportamiento de la función:
- Creciente en \((-\infty, -3)\)
- Decreciente en \((-3, +\infty)\)
Ejercicios sobre Propiedades de Funciones Cuadráticas
Para cada función cuadrática a continuación, encuentra el extremo (mínimo o máximo), el intervalo de crecimiento y el intervalo de decrecimiento:
- \( f(x) = x^2 + 6x \)
- \( f(x) = -x^2 - 2x + 3 \)
- \( f(x) = x^2 - 5 \)
- \( f(x) = -(x - 4)^2 + 2 \)
- \( f(x) = -x^2 \)
Respuestas a los Ejercicios
- a) Mínimo en \((-3, -9)\). Decreciente en \((-\infty, -3)\), creciente en \((-3, +\infty)\).
- b) Máximo en \((-1, 4)\). Creciente en \((-\infty, -1)\), decreciente en \((-1, +\infty)\).
- c) Mínimo en \((0, -5)\). Decreciente en \((-\infty, 0)\), creciente en \((0, +\infty)\).
- d) Máximo en \((4, 2)\). Creciente en \((-\infty, 4)\), decreciente en \((4, +\infty)\).
- e) Máximo en \((0, 0)\). Creciente en \((-\infty, 0)\), decreciente en \((0, +\infty)\).