Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales simples de primer orden de la forma:
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]Estas ecuaciones se resuelven integrando ambos lados con respecto a \( x \). La constante \( C \) representa la constante de integración.
Ejemplos Resueltos
Ejemplos Resueltos Paso a Paso
Ejemplo 1
Resuelva:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]Solución:
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \] \[ y = x^2 + x + C \]Puedes verificar mediante derivación que esto satisface la ecuación original.
Ejemplo 2
Resuelva:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]Solución:
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \] \[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]Sea \( u = 2x \), por lo que \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \):
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \] \[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]Ejemplo 3
Resuelva:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]Solución:
Multiplica ambos lados por \( e^x \), simplifica y reescribe como:
\[ y' = -e^{3x} \]Integra:
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]Sea \( u = 3x \), \( du = 3dx \):
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \] \[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]Ejercicios de Práctica y Respuestas
Problemas de Práctica y Soluciones
Resuelve las siguientes:
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
Respuestas:
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)