Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden cuando la ecuación auxiliar tiene dos soluciones reales iguales. Se incluyen ejemplos paso a paso con soluciones detalladas.
Método General
Considera una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Su ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Si el discriminante satisface:
\[ b^2 - 4c = 0 \]entonces la ecuación tiene dos soluciones reales iguales, dadas por:
\[ k = -\frac{b}{2} \]En este caso, la solución general de la ecuación diferencial es:
donde \( A \) y \( B \) son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
Verificación
Sea \( y = x e^{kx} \). Entonces las derivadas son:
\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]Sustituyendo en la ecuación diferencial:
\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]Factoriza y simplifica:
\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]Dado que \( k^2 + b k + c = 0 \) y \( 2k + b = 0 \) cuando \( k = -\frac{b}{2} \), la solución satisface la ecuación diferencial.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos: Raíces Repetidas y Problemas de Valores Iniciales
Ejemplo 1
Resuelva:
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar:
\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]La solución general:
\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]donde \( A \) y \( B \) son constantes. Puedes verificar mediante sustitución que esto satisface la ecuación diferencial.
Ejemplo 2
Resuelva con las condiciones iniciales \( y(0) = 4 \) y \( y'(0) = 0 \):
\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar:
\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]La solución general:
\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]Aplica las condiciones iniciales:
\[ y(0) = A = 4 \]Deriva para hallar \( y'(x) \):
\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]Usando \( y'(0) = 0 \):
\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]Solución final:
\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]