Este tutorial explica cómo resolver ecuaciones diferenciales de segundo orden cuya ecuación auxiliar tiene dos raíces complejas conjugadas distintas. Se incluyen ejemplos paso a paso y ejercicios para practicar.
Introducción y Solución General
Considera una ecuación diferencial de segundo orden:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]Su ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + b k + c = 0 \]Si el discriminante satisface \( b^2 - 4c < 0 \), la ecuación cuadrática tiene dos raíces complejas conjugadas:
\[ k_1 = r + ti, \quad k_2 = r - ti \]La solución general de la ecuación diferencial es:
donde \( A \) y \( B \) son constantes arbitrarias.
Ejemplos con Soluciones
Ejemplos Resueltos
Ejemplo 1
Resuelve la ecuación diferencial:
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]Solución:
La ecuación auxiliar es:
\[ k^2 + k + 2 = 0 \]Al resolver se obtienen dos raíces complejas conjugadas:
\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]Por lo tanto, \( r = -\frac{1}{2} \) y \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \). La solución general es:
\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]Ejemplo 2
Resuelve la ecuación diferencial con las condiciones iniciales \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \):
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]Solución:
Ecuación auxiliar:
\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]Raíces complejas:
\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]Solución general:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]Aplica las condiciones iniciales:
\( y(0) = 1 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = A = 1 \)
Derivada \( y'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( -\frac{3}{2} A \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2} B \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right) \)
En \( x = 0 \): \( y'(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{3}{2} B = 0 \implies B = \frac{\sqrt{3}}{3} A = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
Solución final:
\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \frac{\sqrt{3}}{3} \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]Ejercicios y Respuestas
Problemas de Práctica y Soluciones
Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales:
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \)
- \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \), con \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \)
Respuestas:
- \( y(x) = e^{x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right) \)
- \( y(x) = \cos x \)