Encuentra la primera derivada de \( y = x^x \) para \( x > 0 \) mostrando todos los pasos.
Derivada de \(x^{x}\) con pasos
Nota que la función \( y = x^{x} \) no es ni una función potencia de la forma \( x^{k} \) ni una función exponencial de la forma \( b^{x} \), y las fórmulas conocidas de diferenciación de estas dos funciones no se pueden usar directamente. Necesitamos encontrar otro método para hallar la primera derivada de la función dada.
Dada:
\[ y = x^{x} \]Toma el logaritmo natural (\( \ln \)) de ambos lados:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]Usa las propiedades de las funciones logarítmicas \( \ln A^{b} = b \ln A \) en el lado derecho:
\[ \ln y = x \ln x \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \), usando la regla de la cadena en el lado izquierdo y la regla del producto en el derecho:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \] \[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]Simplifica el lado derecho:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]Multiplica ambos lados por \( y \) y sustituye \( y = x^x \):
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]Ejercicios y Respuestas
Problemas de Práctica y Soluciones
Encuentra la primera derivada de:
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
Respuestas a los ejercicios anteriores:
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)