El método de diferenciación logarítmica en cálculo utiliza las propiedades de las funciones logarítmicas para diferenciar funciones complicadas y funciones donde las fórmulas habituales de diferenciación no se aplican directamente. Se presentan varios ejemplos con soluciones detalladas.
Ejemplos con soluciones detalladas
Ejemplo 1
Encuentra la derivada de:
\[ y = x^{\sin x} \]Solución al Ejemplo 1
Primero notamos que no hay una fórmula estándar que se pueda usar para diferenciar esta función directamente. La primera derivada se puede calcular tomando el logaritmo natural de ambos lados de \( y = x^{\sin x} \):
\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]Usa las propiedades de los logaritmos para reescribir el lado derecho:
\[ \ln y = \sin x \ln x \]Ahora diferenciamos ambos lados con respectó a \( x \), utilizando la regla de la cadena en el lado izquierdo y la regla del producto en el lado derecho:
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]Multiplica ambos lados por \( y \):
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]Sustituye \( y = x^{\sin x} \):
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]Ejemplo 2
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por:
\[ y = x e^{-x^2} \]Solución al Ejemplo 2
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados:
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]Simplifica el término \( \ln e^{-x^2} \):
\[ \ln y = \ln x - x^2 \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]Sustituye \( y = x e^{-x^2} \):
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]Simplifica:
\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]Ejemplo 3
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por:
\[ y = 3x^2 e^{-x} \]Solución al Ejemplo 3
Tomamos el logaritmo natural de ambos lados:
\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]Simplifica los términos:
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]Sustituye \( y = 3x^2 e^{-x} \):
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]Reescribe como:
\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]NOTA: Como ejercicio, utiliza la regla del producto habitual de la diferenciación para diferenciar la función anterior y compara los resultados.
Ejemplo 4
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por:
\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Solución al Ejemplo 4
Toma el logaritmo natural de ambos lados y expande las expresiones:
\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Simplifica:
\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]NOTA: Utiliza las reglas habituales del producto y de la cadena para diferenciar la función original directamente y verificar el resultado.
Ejemplo 5
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) definida por:
\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]Solución al Ejemplo 5
Toma el logaritmo natural de ambos lados:
\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]Simplifica \( \ln e^x = x \):
\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]Simplifica:
\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]NOTA: Utiliza la regla del cociente para diferenciar esta función directamente y verifica.
Ejemplo 6
Encuentra la derivada \( y' \) de la función \( y \) dada por:
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Solución al Ejemplo 6
Toma el logaritmo natural de ambos lados y expande utilizando las propiedades de los logaritmos:
\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Simplifica:
\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]NOTA: Utiliza la regla del cociente directamente para comparar los resultados.
Ejemplo 7
Usa la diferenciación logarítmica para demostrar la regla del producto \( y = uv \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 7
Toma el logaritmo natural de ambos lados y expande:
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del producto de la diferenciación.
Ejemplo 8
Usa la diferenciación logarítmica para demostrar la regla del cociente \( y = \dfrac{u}{v} \), donde \( u \) y \( v \) son funciones de \( x \).
Solución al Ejemplo 8
Toma el logaritmo natural de ambos lados y expande utilizando las propiedades de los logaritmos:
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]Diferencia ambos lados con respecto a \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]Multiplica todos los términos por \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]NOTA: El resultado obtenido es la conocida regla del cociente de la diferenciación.