Calcular el área en coordenadas polares

Nota que el círculo es barrido por los rayos \( \theta = \theta_1 \) y \( \theta = \theta_2 \), y necesitamos encontrar \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \).

El círculo comienza en el origen (\( r(\theta) = 0 \)) y termina en el origen (\( r(\theta) = 0 \)). Por lo tanto, los ángulos \( \theta_1 \) y \( \theta_2 \) se encuentran resolviendo \( r(\theta) = 0 \):

\[ \sin(\theta) = 0 \]

Lo que da las soluciones:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{y} \quad \theta_2 = \pi \]

El área \( A \) del círculo está dada por:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\pi} (2 \sin \theta)^2 \, d\theta = 2 \int_{0}^{\pi} (\sin \theta)^2 \, d\theta \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin^2 \theta = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2\theta)) \):

\[ A = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta = \left[ \theta - \dfrac{1}{2}\sin(2\theta) \right]_0^{\pi} = \pi \]

El área del círculo dado cuyo radio es \( 1 \) coincide con la fórmula estándar \( \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 1^2 = \pi \).

Debido a la simetría del gráfico, encontramos el área encerrada por un bucle y multiplicamos el resultado por 3.

El bucle de la derecha comienza y termina en el origen (\( r(\theta) = 0 \)). Resolviendo \( \sin(3\theta) = 0 \):

\[ 3\theta = n\pi \quad (n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots) \]

Para el primer bucle en el cuadrante I:

\[ \theta_1 = 0 \quad \text{y} \quad \theta_2 = \dfrac{\pi}{3} \]

El área de un solo bucle es:

\[ A = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (\sin 3\theta)^2 \, d\theta = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(6\theta)) \, d\theta = \dfrac{1}{4} \left[ \theta - \dfrac{1}{6}\sin(6\theta) \right]_0^{\frac{\pi}{3}} = \dfrac{\pi}{12} \]

El área total de los tres bucles es:

\[ 3A = \dfrac{\pi}{4} \]

Debido a la simetría, encontramos el área de la superficie encerrada por las dos curvas de la derecha y la multiplicamos por 2.

El área consta de dos partes, \( A_1 \) y \( A_2 \):

\[ A_1 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_1}^{\theta_2} r_1^2(\theta) \, d\theta, \quad A_2 = \dfrac{1}{2} \int_{\theta_2}^{\theta_3} r_2^2(\theta) \, d\theta \]

Límites de integración:

• \( \theta_1 = 0 \) (donde \( r_1(\theta) = 0 \))
• \( \theta_3 = \dfrac{\pi}{2} \) (donde \( r_2(\theta) = 0 \))
• \( \theta_2 \) es el punto de intersección: \( \sin(\theta) = 0.5(1 + \cos(2\theta)) \). Usando \( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta \), obtenemos \( \sin^2\theta + \sin\theta - 1 = 0 \), lo que da \( \sin\theta = \dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \approx 0.61803 \), por lo que \( \theta_2 = \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\right) \approx 0.66624 \).

Evaluando las integrales:

\[ A_1 = \dfrac{1}{4} \int_{0}^{0.66624} (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta \approx 0.0450915 \] \[ A_2 = \dfrac{0.5^2}{2} \int_{0.66624}^{\frac{\pi}{2}} \left(1 + \dfrac{1}{2}(1 + \cos(4\theta)) + 2\cos(2\theta)\right) d\theta \approx 0.0409645 \]

El área común total \( A = 2(A_1 + A_2) \approx 2(0.0450915 + 0.0409645) = 0.172112 \).