Integral de \( \csc x \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \csc x \, dx \]

Nota: Hay varios métodos para calcular la integral anterior. Los pasos descritos a continuación permiten repasar muchas ideas de trigonometría y de cálculo de integrales; además, el resultado final es bastante simple.

Utiliza \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) para reescribir la integral:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

\( \sin x \) se puede escribir usando una fórmula de ángulo doble como:

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) para escribir:

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

Sustituye esto en la integral:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución: sea \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \), lo que da \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) o \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \). Al sustituir en la integral:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Simplifica la expresión:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) para escribir:

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

Sustituye en la integral:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

Utiliza la descomposición en fracciones parciales para escribir el integrando como:

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Sustituye de nuevo en la integral y separa:

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

Utiliza la fórmula de integración \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Agrupa las expresiones logarítmicas usando las propiedades de los logaritmos (\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) y \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \)):

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

Nota que \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \), por lo tanto:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

Sustituye de nuevo \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

Simplifica usando \( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) y las propiedades del valor absoluto para escribir la respuesta final: