Integral de \( \sec x \)

Derivación y evaluación

Evalúa la integral:

\[ \int \sec x \, dx \]

Utiliza \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) para reescribir la integral:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

Multiplica tanto el numerador como el denominador del integrando de la derecha por \( \cos x \):

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

Utiliza la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) en el denominador para escribir:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

Utiliza la integración por sustitución: sea \( u = \sin x \), lo que da \( du = \cos x \, dx \). La integral se puede escribir como:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

Utiliza la descomposición en fracciones parciales para escribir el integrando como:

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

Sustituye esto en la integral:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

Utiliza la fórmula de integración \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \) para obtener:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

Agrupa las expresiones logarítmicas utilizando la propiedad \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \):

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

Sustituye de nuevo \( u = \sin x \):