Se presenta un problema para maximizar (optimizar) el área de un rectángulo con un perímetro constante. Se desarrolla un método analítico, basado en las derivadas de una función y teoremas de cálculo, para hallar una solución analítica al problema.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Problema
Decides construir un rectángulo con un perímetro de \( 400 \; \text{mm} \) y un área máxima. Halla la longitud y el ancho del rectángulo.
Mostrar solución al problema
Sean \( x \) (ancho, distancia \( DC \)) y \( y \) (longitud, distancia \( DA \)) las dimensiones del rectángulo. El área \( A \) y el perímetro \( P \) del rectángulo están dados por:
\[ A = xy \] \[ P = 400 = 2x + 2y \]Resuelve la ecuación del perímetro para \( y \):
\[ y = 200 - x \]Sustituye \( y = 200 - x \) en la fórmula del área para obtener el área como una función de \( x \):
\[ A(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \]El dominio de la función \( A(x) \) es el intervalo cerrado \( [0, 200] \) ya que \( x \ge 0 \) y \( y = 200 - x \ge 0 \) (lo que implica \( x \le 200 \)).
Para hallar el valor de \( x \) que maximiza \( A \), calculamos la primera derivada \( \dfrac{dA}{dx} \):
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 200 \]Estableciendo \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \) para hallar los puntos críticos:
\[ -2x + 200 = 0 \implies x = 100 \]En los extremos del dominio, \( A(0) = 0 \) y \( A(200) = 0 \). La segunda derivada es:
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2 \]Dado que la segunda derivada es negativa (\( -2 < 0 \)), por la prueba de la segunda derivada, el punto crítico \( x = 100 \) corresponde a un máximo local (que es un máximo absoluto en el intervalo cerrado).
La longitud correspondiente es \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \), y el área máxima es \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \). Por lo tanto, seleccionar un rectángulo de ancho \( x = 100 \; \text{mm} \) y longitud \( y = 100 \; \text{mm} \) (un cuadrado) produce la máxima área posible.
Ejercicios
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Ejercicio 1: Resuelve el mismo problema anterior pero con un perímetro igual a \( 500 \; \text{mm} \).
Mostrar solución al ejercicio 1
Utilizando la fórmula del perímetro \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \). La función de área es:
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]Tomando la primera derivada:
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]La longitud es \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \).
Conclusión: Ancho \( x = 125 \; \text{mm} \) y longitud \( y = 125 \; \text{mm} \) (un cuadrado).