Ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios que resuelven preguntas de límites relacionadas con formas indeterminadas como:
\[ \dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty \]En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teorema
Una segunda versión de la regla de L'Hôpital nos permite reemplazar el problema de límites:
\[ \dfrac{\infty}{\infty} \]con otro problema más simple de resolver.
Si \( \lim f(x) = \infty \) y \( \lim g(x) = \infty \) y si \( \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) tiene un valor finito \( L \), o es de la forma \( \infty \) o \( -\infty \), entonces:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]En lo anterior, \( \lim \) representa \( \lim_{x \to a} f(x) \), \( \lim_{x \to a^+} f(x) \), \( \lim_{x \to a^-} f(x) \), \( \lim_{x \to \infty} f(x) \), o \( \lim_{x \to -\infty} f(x) \).
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} \]Mostrar solución
Dado que:
\[ \lim_{x \to \infty} \ln x = \infty \]y
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]tenemos la forma indeterminada:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]La regla de L'Hôpital se puede utilizar para evaluar el problema de límites dado de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'} \]Evalúa las derivadas en el numerador y el denominador:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} \]Evalúa los límites en el numerador y el denominador:
\[ \lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]Ahora evaluamos el límite dado:
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0 \]Ejemplo 2
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} \]Mostrar solución
Nota que:
\[ \lim_{x \to \infty} x = \infty \]y
\[ \lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0 \]Esta es la forma indeterminada \( \infty \cdot 0 \). La idea es convertirla en la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y usar el teorema de L'Hôpital. Nota que:
\[ \lim_{x \to \infty} x e^{-x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]Aplicamos la regla de L'Hôpital:
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(x)'}{(e^x)'} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{e^x} = 0 \]Ejemplo 3
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x \]Mostrar solución
Nota que \( \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) = 1 \) y el límite anterior está dado por:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = 1^\infty \]el cual es de la forma indeterminada \( 1^\infty \). Si hacemos \( t = 1 / x \), el límite anterior se puede escribir como:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = \lim_{t \to 0^+} (1 + t)^{1/t} \]Nota que cuando \( x \to \infty \), \( t \to 0^+ \).
Sea \( y = (1 + t)^{1/t} \) y hallemos el límite de \( \ln y \) cuando \( t \) se aproxima a 0:
\[ \ln y = \ln (1 + t)^{1/t} = \dfrac{1}{t} \ln (1 + t) \]La ventaja de usar \( \ln y \) es que:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]El límite tiene la forma indeterminada \( 0 / 0 \), y se puede aplicar la primera regla de L'Hôpital:
\[ \lim_{t \to 0} \ln y = \lim_{t \to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t \to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]Dado que el límite de \( \ln y = 1 \), el límite de \( y \) es \( e^1 = e \). Por lo tanto:
\[ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \dfrac{1}{x}\right)^x = e \]Ejemplo 4
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) \]Mostrar solución
Nota que:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x}\right) = +\infty \]y
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{\sin x}\right) = +\infty \]Este límite tiene la forma indeterminada \( \infty - \infty \) y debe convertirse a otra forma combinando términos:
\[ \lim_{x \to 0^+} \left(\dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]Ahora tenemos la forma indeterminada \( 0 / 0 \) y podemos usar el teorema de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]Tenemos nuevamente la forma indeterminada \( 0 / 0 \) y usamos el teorema de L'Hôpital una vez más:
\[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{(\sin x + x \cos x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \dfrac{0}{2} = 0 \]Ejemplo 5
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x \]Mostrar solución
Tenemos la forma indeterminada \( 0^0 \). Sea \( y = x^x \) y \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). Hallemos ahora el límite de \( \ln y \):
\[ \lim_{x \to 0^+} \ln y = \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty \]El límite anterior tiene la forma indeterminada \( 0 \cdot \infty \). Lo convertimos de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 0^+} x \ln x = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]Ahora tiene la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y podemos usar el teorema de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \] \[ = \lim_{x \to 0^+} (-x) = 0 \]El límite de \( \ln y = 0 \), por lo que el límite de \( y = x^x \) es igual a:
\[ \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]Ejercicios
Calcula los siguientes límites. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
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Ejercicio 2
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
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Ejercicio 3
\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
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Ejercicio 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^{\sin x} \)