Formas indeterminadas de Límites
Ejemplos con soluciones detalladas y ejercicios que resuelven preguntas de límites relacionados con formas indeterminadas como:
\[
\dfrac{\infty}{\infty}, \quad 0^0, \quad \infty^0, \quad 1^\infty, \quad \infty \cdot 0, \quad \infty - \infty
\]
Teorema
Una segunda versión de la regla de L'Hopital nos permite reemplazar el problema de límite
\[
\dfrac{\infty}{\infty}
\]
con otro problema más simple de resolver.
Si \(\lim f(x) = \infty\) y \(\lim g(x) = \infty\) y si \(\lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) tiene un valor finito \(L\), o es de la forma \(\infty\) o \(-\infty\), entonces
\[
\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}
\]
En lo anterior, \(\lim\) representa \(\lim_{x \to a} f(x)\), \(\lim_{x \to a^+} f(x)\), \(\lim_{x \to a^-} f(x)\), \(\lim_{x \to \infty} f(x)\) o \(\lim_{x \to -\infty} f(x)\).
Ejemplos con Soluciones
Ejemplo 1
Encuentra el límite
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x}
\]
Solución al Ejemplo 1:
Dado que
\[
\lim_{x \to \infty} \ln x = \infty
\]
y
\[
\lim_{x \to \infty} x = \infty
\]
tenemos la forma indeterminada
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{\infty}{\infty}
\]
La regla de L'Hopital anterior se puede usar para evaluar el límite dado de la siguiente manera
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{(\ln x)'}{(x)'}
\]
Evalúa las derivadas en el numerador y el denominador
\[
= \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1}
\]
Evalúa los límites en el numerador y denominador
\[
\lim_{x \to \infty} (1/x) = 0 \text{ y } \lim_{x \to \infty} 1 = 1
\]
Ahora evaluamos el límite dado
\[
\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{0}{1} = 0
\]
Ejemplo 2
Encuentra el límite: \[ \lim_{x\to \infty} x e^{-x} \]
Solución al Ejemplo 2:
Nota que
\[ \lim_{x\to \infty} x = \infty \]
y
\[ \lim_{x\to \infty} e^{-x} = 0 \]
Esta es la forma indeterminada \( \infty \cdot 0 \). La idea es convertirla en la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y usar el teorema de L'Hopital. Observa que
\[ \lim_{x\to \infty} x e^{-x} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ x}{ e^x} = \dfrac{ \infty }{ \infty }\]
Aplicamos el teorema de L'Hopital anterior
\[ = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ (x)'}{ (e^x)'} = \lim_{x\to \infty} \dfrac{ 1 }{ e^x} = 0\]
Ejemplo 3
Encuentra \[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x \]
Solución al Ejemplo 3:
Observa que \( \lim_{x\to \infty} (1 + 1/x) = 1 \) y el límite anterior está dado por
\[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = 1^{\infty}\]
que es de la forma indeterminada \( 1^{\infty}\). Si hacemos \( t = 1 / x \) el límite anterior puede escribirse como
\[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = \lim_{t\to 0} ( 1 + t)^{1/t} \]
nota que a medida que \( x\to \infty \) , \( t\to 0 \)
Sea \( y = ( 1 + t)^{1/t} \) y encuentra el límite de \( \ln y \) cuando t se aproxima a 0
\[ \ln y = \ln ( 1 + t)^{1/t} =(1 / t) \ln (1 + t) \]
La ventaja de usar \( \ln y \) es que
\[ \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {\ln (1 + t)}{t} = \dfrac{0}{0} \]
y el límite tiene la forma indeterminada 0 / 0 y se puede aplicar la primera regla de L'Hopital
\[ \lim_{t\to 0} \ln y = \lim_{t\to 0} \dfrac {\ln (1 + t)}{t} \]
\[ = \lim_{t\to 0} \dfrac{(\ln (1 + t))'}{(t)'} = \lim_{t\to 0} \dfrac{1/(1+t)}{1} = 1 \]
Dado que el límite de \( \ln y = 1 \) el límite de \( y \) es \( e^1 = e \), por lo tanto
\[ \lim_{x\to \infty} ( 1 + 1/x)^x = e \]
Ejemplo 4
Encuentra el límite \[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x )\]
Solución al Ejemplo 4:
Observa que
\[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x ) = + \infty \]
y
\[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / \sin x ) = + \infty \]
Este límite tiene la forma indeterminada \( \infty - \infty \) y debe convertirse a otra forma combinando \( 1 / x - 1 / \sin x \)
\[ \lim_{x\to 0^+} ( 1 / x - 1 / \sin x ) = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \dfrac{0}{0} \]
Ahora tenemos la forma indeterminada 0 / 0 y podemos usar el teorema de L'Hopital.
\[ \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\sin x - x)'}{(x \sin x)'} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\cos x - 1}{ \sin x + x \cos x} = \dfrac{0}{0} \]
Tenemos nuevamente la forma indeterminada 0 / 0 y usamos el teorema de L'Hopital una vez más.
\[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\cos x - 1)'}{ (\sin x + x \cos x)'} \]
\[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{-\sin x}{ \cos x + \cos x - x \sin x } = \dfrac{0}{2} = 0\]
Ejemplo 5
Encuentra el límite \[ \lim_{x\to 0^+} x^x \]
Solución al Ejemplo 5:
Tenemos la forma indeterminada \( 0^0 \). Sea \( y = x^x \) y \( \ln y = \ln (x^x) = x \ln x \). Encontremos ahora el límite de \( \ln y \)
\[ \lim_{x\to 0^+} \ln y = \lim_{x\to 0^+} x \ln x = 0 \cdot \infty\]
El límite anterior tiene la forma indeterminada \( 0 \cdot \infty\). Lo hemos convertido de la siguiente manera
\[ \lim_{x\to 0^+} x \ln x = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \dfrac{\infty}{\infty} \]
Ahora tiene la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \) y podemos usar el teorema de L'Hopital
\[ \lim_{x\to 0^+} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{(\ln x)'}{(1/x)'} \]
\[ = \lim_{x\to 0^+} \dfrac{1/x}{-1/x^2} \]
\[ = \lim_{x\to 0^+} - x = 0 \]
El límite de \( \ln y = 0 \) y el límite de \( y = x^x \) es igual a
\[ \lim_{x\to 0^+} x^x = e^0 = 1 \]
Ejercicios
Encuentra los límites
- \( \quad \lim_{x\to \infty} (\ln x)^{1/x} \)
- \( \quad \lim_{x\to \infty} (\ln x - \ln (1 + x)) \)
- \( \quad \lim_{x\to \infty} \dfrac{x}{e^x} \)
- \( \quad \lim_{x\to 0^+} x^{\sin x} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
- 1
- 0
- 0
- 1
Más Enlaces sobre Límites
Tutoriales y Problemas de Cálculo
Preguntas sobre Límites de Funciones con Valor Absoluto