El teorema de compresión, también llamado teorema del sándwich, se utiliza para hallar límites.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Teorema de compresión
Si \( f \), \( g \) y \( h \) son funciones tales que:
\[ f(x) \le g(x) \le h(x) \]para todos los valores de \( x \) en algún intervalo abierto que contenga a \( a \) (excepto posiblemente en \( a \)), y si:
\[ \lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = L \]entonces:
\[ \lim_{x \to a} g(x) = L \]Ejemplos con soluciones
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \]Mostrar solución al ejemplo 1
A medida que \( x \) se aproxima a \( 0 \), \( \dfrac{1}{x} \) se vuelve muy grande en valor absoluto, y \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) se vuelve altamente oscilatorio.
Sin embargo, \( \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) toma valores dentro del intervalo \([-1, 1]\), que es el rango de la función coseno. Por lo tanto:
\[ -1 \le \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le 1 \]Multiplica todos los términos de la desigualdad anterior por \( x^2 \) (notando que \( x^2 > 0 \) para \( x \neq 0 \)):
\[ -x^2 \le x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \le x^2 \]La desigualdad anterior se cumple para cualquier valor de \( x \) excepto \( 0 \), donde \( x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) \) no está definido. A medida que \( x \) se aproxima a \( 0 \), tanto \( -x^2 \) como \( x^2 \) se aproximan a \( 0 \):
\[ \lim_{x \to 0} (-x^2) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0 \]Por lo tanto, de acuerdo con el teorema de compresión, obtenemos:
\[ \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\dfrac{1}{x}\right) = 0 \]Ejemplo 2
Halla el límite:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \]Mostrar solución al ejemplo 2
Supón que \( 0 < x < \pi/2 \) y considera el círculo unitario y un sector \( OAC \) con ángulo central \( x \) en posición estándar. \( A \) es un punto en el círculo unitario, y \( AB \) es tangente al círculo en el punto \( A \), formando un ángulo recto en este punto.
El punto \( C \) es un punto en el círculo unitario (radio igual a 1) con coordenadas \( (\cos x, \sin x) \). Hallemos las áreas del triángulo \( OAC \), del sector \( OAC \) y del triángulo rectángulo \( OAB \).
Utilizando la fórmula del seno para el área de un triángulo:
\( \text{Área del triángulo } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OC \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \sin x = \dfrac{1}{2} \sin x \)
Utilizando la fórmula para el área de un sector circular:
\( \text{Área del sector } OAC = \dfrac{1}{2} \cdot x \cdot OC^2 = \dfrac{1}{2} x \)
Área del triángulo rectángulo \( OAB \):
\( \text{Área del triángulo rectángulo } OAB = \dfrac{1}{2} \cdot (\text{base}) \cdot (\text{altura}) = \dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \tan x = \dfrac{1}{2} \tan x \)
Comparando geométricamente las tres áreas, podemos escribir la desigualdad:
\[ \text{Área del triángulo } OAC < \text{Área del sector } OAC < \text{Área del triángulo } OAB \]Sustituye las áreas por sus expresiones:
\[ \dfrac{1}{2} \sin x < \dfrac{1}{2} x < \dfrac{1}{2} \tan x \]Multiplica todos los términos por \( \dfrac{2}{\sin x} \) (ya que \( \sin x > 0 \) para \( 0 < x < \pi/2 \)):
\[ 1 < \dfrac{x}{\sin x} < \dfrac{1}{\cos x} \]Toma el recíproco e invierte los símbolos de desigualdad:
\[ 1 > \dfrac{\sin x}{x} > \cos x \]Lo cual es equivalente a:
\[ \cos x < \dfrac{\sin x}{x} < 1 \]Se puede demostrar que esta desigualdad también se cumple para \( -\pi/2 < x < 0 \), por lo que la desigualdad se cumple para todo \( x \) en un intervalo abierto alrededor de \( 0 \) excepto \( x = 0 \) donde \( \dfrac{\sin x}{x} \) no está definido. Dado que:
\[ \lim_{x \to 0} \cos x = 1 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} 1 = 1 \]Podemos aplicar el teorema de compresión para obtener:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]Este límite fundamental es esencial para evaluar otros límites de funciones trigonométricas y calcular sus derivadas.