La regla de L'Hôpital nos permite reemplazar un problema de límite por otro que puede ser más sencillo de resolver. A continuación se presentan varios ejemplos junto con sus soluciones y explicaciones detalladas.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Regla de L'Hôpital
Si \( \lim_{x \to a} f(x) = 0 \) y \( \lim_{x \to a} g(x) = 0 \) (o ambos se aproximan a \( \pm\infty \)) y si \( \lim_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \) tiene un valor finito \( L \), o es de la forma \( +\infty \) o \( -\infty \), entonces:
\[ \lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \]donde \( \lim \) representa \( \lim_{x \to a} \), \( \lim_{x \to a^+} \), \( \lim_{x \to a^-} \), \( \lim_{x \to +\infty} \) o \( \lim_{x \to -\infty} \).
\( f'(x) \) y \( g'(x) \) son las derivadas de \( f(x) \) y \( g(x) \) respectivamente.
Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla el límite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} \)
Mostrar solución
Dado que:
\[ \lim_{x \to 0} \sin x = 0 \]y
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]La regla de L'Hôpital se puede utilizar para evaluar el límite anterior de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(\sin x)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{1} = \dfrac{\cos 0}{1} = 1 \]Ejemplo 2
Halla el límite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} \)
Mostrar solución
Nota que:
\[ \lim_{x \to 0} (e^x - 1) = 0 \]y
\[ \lim_{x \to 0} x = 0 \]Podemos utilizar la regla de L'Hôpital para calcular el límite dado de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{d(e^x - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x}{1} = \dfrac{e^0}{1} = 1 \]Ejemplo 3
Halla el límite \( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)
Mostrar solución
Dado que el límite del numerador:
\[ \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 0 \]y el del denominador:
\[ \lim_{x \to 1} (x - 1) = 0 \]son ambos iguales a cero, podemos utilizar la regla de L'Hôpital para calcular el límite:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{\dfrac{d(x^2 - 1)}{dx}}{\dfrac{d(x - 1)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 1} \dfrac{2x}{1} = \dfrac{2(1)}{1} = 2 \]Nota que el mismo límite se puede calcular factorizando primero de la siguiente manera:
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2 \]Ejemplo 4
Halla el límite \( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} \)
Mostrar solución
Límite del numerador:
\[ \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0 \]Límite del denominador:
\[ \lim_{x \to 2} (x - 2) = 0 \]Ambos límites son iguales a cero, por lo que se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{\ln(x - 1)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{d(\ln(x - 1))}{dx}}{\dfrac{d(x - 2)}{dx}} \] \[ = \lim_{x \to 2} \dfrac{\dfrac{1}{x - 1}}{1} = \dfrac{\dfrac{1}{2 - 1}}{1} = 1 \]Ejemplo 5
Halla el límite \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} \)
Mostrar solución
Límite del numerador y del denominador:
\[ \lim_{x \to 0} (1 - \cos x) = 0 \quad \text{y} \quad \lim_{x \to 0} 6x^2 = 0 \]Se puede utilizar la regla de L'Hôpital:
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{12x} \]El nuevo límite también es indeterminado \( \dfrac{0}{0} \), y podemos aplicar la regla de L'Hôpital por segunda vez:
\[ = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{12} = \dfrac{\cos 0}{12} = \dfrac{1}{12} \]Ejercicios
Calcula los siguientes límites. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin 2x} \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 2
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x}{x} \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 3
\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{3x - 3} \)
Mostrar respuesta
Ejercicio 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{\sin 2x} \)