Introducción a la regla de la cadena multivariable
Cuando se trata de una función multivariable en la que las variables internas son a su vez funciones de uno o más parámetros independientes, la regla de la cadena multivariable nos permite calcular la derivada de la función compuesta con respecto a dichos parámetros.
Parámetro independiente único
Dada una función \( f(x, y, z) \) donde \( x \), \( y \) y \( z \) son todas funciones de una sola variable \( t \), la derivada total de \( f \) con respecto a \( t \) se calcula sumando los productos de las derivadas parciales de \( f \) y las derivadas estándar de las variables internas:
\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]Múltiples parámetros independientes (Regla de la cadena extendida)
Si una función \( f(x, y) \) tiene variables internas \( x \) e \( y \) que son funciones de múltiples parámetros, como \( t \) y \( r \), utilizamos la regla de la cadena extendida para hallar las derivadas parciales de \( f \) con respecto a cada parámetro:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]Ejemplos que utilizan la regla de la cadena multivariable
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
\( U \) es una función de \( x \), \( y \) y \( z \) dada por:
\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]\( x \), \( y \) y \( z \) son funciones de \( t \):
\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]Halla \(\dfrac{dU}{dt}\).
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Primero planteamos la regla de la cadena multivariable para hallar \(\dfrac{dU}{dt}\):
\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]A continuación, calculamos cada término de la fórmula anterior (Nota: la derivada de \(-z^{-1}\) es \(+z^{-2}\)):
\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]Sustituimos estos valores en la fórmula de la regla de la cadena:
\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]Factorizamos \(e^{xy}\) y sustituimos \(x, y\) y \(z\) por sus funciones en función de \(t\):
\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Desarrollamos los términos dentro de los paréntesis para obtener el resultado final:
\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]Ejemplo 2
\( W \) es una función de \( x \) e \( y \) dada por:
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]\( x \) e \( y \) son funciones de \( r \) y \( \theta \) dadas por:
\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]Halla \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) y \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) con \( r \ge 0 \) y \( 0 \le \theta \le 2\pi \).
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Utilizamos la regla de la cadena multivariable extendida para hallar ambas derivadas parciales:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]Calculamos todos los componentes individuales:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]Sustituimos y simplificamos para hallar \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]Dado que \(x = r \cos(\theta)\), \(y = r \sin(\theta)\) y \(\sqrt{x^2+y^2} = r\), esto se convierte en:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]Sustituimos y simplificamos para hallar \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]Nota: Todo lo anterior se podría haber hecho mucho más rápido sustituyendo primero \(x\) e \(y\) directamente en \(W\):
\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]Lo que da fácilmente \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\) y \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\). Este ejemplo sirve para verificar que la regla de la cadena coincide con la sustitución directa.
Ejemplo 3
\( W \) es una función de \( x \) e \( y \) dada por:
\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]\( x \) e \( y \) son funciones de \( u \) y \( v \) dadas por:
\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]Halla \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) y \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\).
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La regla de la cadena multivariable extendida para \(u\) y \(v\) es:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]Calculamos las derivadas parciales necesarias:
\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]Sustituimos los términos para hallar \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]Sustituimos los términos para hallar \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\):
\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]Ejemplo 4
El volumen de un sólido rectangular de dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) está dado por la fórmula:
\[ V = LWH \]Halla la tasa (en \(\text{cm}^3/\text{s}\)) a la que cambia el volumen \( V \) cuando la longitud \( L = 50\text{ cm} \) y aumenta a \( 0.2\text{ cm/s} \), el ancho \( W = 40\text{ cm} \) y aumenta a \( 0.1\text{ cm/s} \), y la altura \( H = 30\text{ cm} \) y disminuye a \( 0.1\text{ cm/s} \).
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Las dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) cambian con respecto al tiempo \( t \), por lo tanto el volumen \( V \) también cambia con el tiempo. Se utiliza la regla de la cadena para hallar \(\dfrac{dV}{dt}\):
\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]Calculamos las derivadas parciales e identificamos las tasas de cambio:
\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]Evaluamos \(\dfrac{dV}{dt}\) utilizando los valores instantáneos dados (\(L=50, W=40, H=30\)):
\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0.2) + (50)(30)(0.1) + (50)(40)(-0.1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]Ejemplo 5
La resistencia equivalente \( R \) de dos resistencias en paralelo con resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) está dada por:
\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]Las resistencias \( R_1 \) y \( R_2 \) cambian con la temperatura \( T \) según las siguientes fórmulas:
\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]donde \( R_{10} \), \( R_{20} \), \( \alpha \), \( \beta \) y \( T_0 \) son constantes. Halla la tasa de cambio \(\dfrac{dR}{dT}\).
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\(\dfrac{dR}{dT}\) está dada por la regla de la cadena de la siguiente manera:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]Utilizando la regla del cociente, calculamos las derivadas parciales de \(R\), y luego hallamos las derivadas de \(R_1\) y \(R_2\) con respecto a \(T\):
\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]Sustituimos estos términos de nuevo en la ecuación de la regla de la cadena:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]Combinamos en una sola fracción:
\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]