Definición de derivadas parciales
Sea \( f(x, y) \) una función de dos variables. Si mantenemos \( y \) constante y diferenciamos \( f \) (asumiendo que \( f \) es derivable) con respecto a la variable \( x \), utilizando las reglas y fórmulas estándar de diferenciación, obtenemos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( x \), denotada por:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} \quad \text{o} \quad f_x \]De igual manera, si mantenemos \( x \) constante y diferenciamos \( f \) con respecto a la variable \( y \), obtenemos la derivada parcial de \( f \) con respecto a \( y \), denotada por:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} \quad \text{o} \quad f_y \]También podemos definir las derivadas parciales utilizando límites de la siguiente manera:
\[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h} \]y
\[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \lim_{k\to 0} \frac{f(x, y+k) - f(x, y)}{k} \]Ejemplos con soluciones detalladas
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Halla las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x, y) \) está dada por:
\[ f(x, y) = x^2 y + 2x + y \]Mostrar solución al ejemplo 1
Asumimos que \( y \) es constante y diferenciamos con respecto a \( x \):
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial x}(2x) + \frac{\partial}{\partial x}(y) = 2xy + 2 + 0 = 2xy + 2 \end{aligned} \]Asumimos que \( x \) es constante y diferenciamos con respecto a \( y \):
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y + 2x + y) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 y) + \frac{\partial}{\partial y}(2x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) = x^2 + 0 + 1 = x^2 + 1 \end{aligned} \]Ejemplo 2
Halla las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x, y) \) está dada por:
\[ f(x, y) = \sin(xy) + \cos(x) \]Mostrar solución al ejemplo 2
Diferenciamos con respecto a \( x \) asumiendo que \( y \) es constante (utilizando la regla de la cadena para \(\sin(xy)\)):
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial x}(\cos(x)) = y \cos(xy) - \sin(x) \end{aligned} \]Diferenciamos con respecto a \( y \) asumiendo que \( x \) es constante:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy) + \cos(x)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(\sin(xy)) + \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x)) = x \cos(xy) - 0 = x \cos(xy) \end{aligned} \]Ejemplo 3
Halla \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x, y) \) está dada por:
\[ f(x, y) = x e^{xy} \]Mostrar solución al ejemplo 3
Diferenciamos con respecto a \( x \) asumiendo que \( y \) es constante utilizando la regla del producto:
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x e^{xy}) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x) \cdot e^{xy} + x \cdot \frac{\partial}{\partial x}(e^{xy}) = 1 \cdot e^{xy} + x \cdot y e^{xy} = (1 + xy) e^{xy} \end{aligned} \]Diferenciamos con respecto a \( y \) asumiendo que \( x \) es constante:
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x e^{xy}) \\ &= x \cdot \frac{\partial}{\partial y}(e^{xy}) = x \cdot x e^{xy} = x^2 e^{xy} \end{aligned} \]Ejemplo 4
Halla \( f_x \) y \( f_y \) si \( f(x, y) \) está dada por:
\[ f(x, y) = \ln(x^2 + 2y) \]Mostrar solución al ejemplo 4
Diferenciamos con respecto a \( x \):
\[ \begin{aligned} f_x &= \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2x}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Diferenciamos con respecto a \( y \):
\[ \begin{aligned} f_y &= \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(\ln(x^2 + 2y)) \\ &= \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2y) \cdot \frac{1}{x^2 + 2y} = \frac{2}{x^2 + 2y} \end{aligned} \]Ejemplo 5
Halla \( f_x(2, 3) \) y \( f_y(2, 3) \) si \( f(x, y) \) está dada por:
\[ f(x, y) = y x^2 + 2y \]Mostrar solución al ejemplo 5
Primero hallamos las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \):
\[ f_x(x, y) = 2xy \] \[ f_y(x, y) = x^2 + 2 \]Sustituimos \( x = 2 \) e \( y = 3 \):
\[ f_x(2, 3) = 2(2)(3) = 12 \] \[ f_y(2, 3) = 2^2 + 2 = 6 \]Ejercicios
Halla las derivadas parciales \( f_x \) y \( f_y \) para las siguientes funciones. Haz clic en cada ejercicio para comprobar tus respuestas.
Ejercicio 1
\( f(x, y) = x e^{x + y} \)
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Ejercicio 2
\( f(x, y) = \ln(2x + yx) \)
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Nota del ejercicio 2
Nota: Por las propiedades logarítmicas, \( \ln(2x + yx) = \ln(x(2 + y)) = \ln(x) + \ln(2 + y) \), lo que hace que el cálculo de las derivadas parciales sea directo.
Ejercicio 3
\( f(x, y) = x \sin(x - y) \)