Derivadas de Ecuaciones Paramétricas y Aplicaciones
La derivada de las ecuaciones paramétricas se presenta con ejemplos y sus soluciones. También se incluyen algunas aplicaciones para encontrar pendientes de rectas tangentes.
Más preguntas con soluciones están incluidas.
Primera y Segunda Derivadas de Ecuaciones Paramétricas
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma
\[
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & \\\\
y(t) &
\end{aligned} \right.
\] ¿cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Primero encuentre la derivada \( \dfrac{dy}{dt} \) usando la regla de la cadena de diferenciación de la siguiente manera
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]
Divida el lado izquierdo y derecho por \( \dfrac{dx}{dt} \) y simplifique para obtener
\[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{si} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I)\]
La segunda derivada se define por
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]
El lado derecho en lo anterior se obtiene sustituyendo \( y \) por \( \dfrac{dy}{dx} \) en la fórmula (I) anterior, por lo tanto
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II)\]
Ejemplos y sus Soluciones
Ejemplo 1
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = 2 t + 1 \\\\
y(t) & = t^2 -2
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\) , ¿cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Solución del Ejemplo 1
Encuentre \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \)
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2 t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = 2 \]
Use la fórmula anterior en (I) para obtener
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30pt] = \dfrac{2 t}{2} \]
Simplifique
\[ \dfrac{dy}{dx} = t \qquad (I) \]
También podemos expresar \( \dfrac{dy}{dx} \) en términos de \( x \). Use la ecuación paramétrica \( x = 2 t + 1 \) para encontrar \( t \) en términos de \( x \)
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]
Sustituya \( t \) por \( \dfrac{x - 1}{2} \) en (I) anterior
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]
Ejemplo 2
a) Encuentre la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) y la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) dadas las ecuaciones paramétricas
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = 2(t - \sin t) \\\\
y(t) & = 2(1 - \cos t)
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\)
y determine la concavidad de la curva.
b) Use una calculadora gráfica para verificar la respuesta sobre la concavidad en la parte a).
Solución del Ejemplo 2
a)
Encuentre \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \)
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2 \sin t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = 2 (1 - \cos t) \]
Use la fórmula (I) anterior para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[35 pt] = \dfrac{\sin t}{ (1 - \cos t) } \]
Ahora calculamos \( \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) \)
\[ \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \sin t}{ 1 - \cos t } \right) \\
= \dfrac{1}{\cos t - 1} \]
Use la fórmula (II) y la derivada anterior para obtener la segunda derivada
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30 pt] = \dfrac{ \dfrac{1}{\cos t - 1} }{ 2 (1 - \cos t) } \]
Simplifique
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = - \; \frac{1}{2\left(\cos \left(t\right)-1\right)^2} \]
La segunda derivada es siempre negativa, excepto en los valores de \( t \) que hacen que el denominador sea igual a \( 0 \), por lo tanto la curva de las ecuaciones paramétricas dadas es cóncava hacia abajo .
b)
La gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación y se puede ver que la curva es cóncava hacia abajo como se mostró en la parte a) anterior. La gráfica se llama cicloide.
Fig.1 Gráfica de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = 2(t - \sin t) \) y \( y(t) = 2(1 - \cos t) \) Llamada la Cicloide
Ejemplo 3
a) Use una calculadora gráfica para representar la curva definida por la ecuación paramétrica
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = \sin t \\\\
y(t) & = \sin t \cos t
\end{aligned} \right. , t \in [0,2\pi]
\end{equation}
\)
b) Encuentre la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) y la ecuación de la(s) tangente(s) en el punto \( (0,0) \) y represéntelas.
Solución del Ejemplo 3
a)
La gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación.
Fig.2 Gráfica de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t \) y \( y(t) = \sin t \cos t \) para \( t \in [0,2\pi] \)
b)
Encuentre las derivadas \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \).
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]
Encuentre la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior.
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]
Encuentre el(los) valor(es) de \( t \) para los cuales \( (x,y) = (0,0) \) resolviendo las ecuaciones
\[ \sin t = 0 \] y \[ \sin t \cos t = 0 \]
lo que da
\[ \sin t = 0 \]
y las soluciones dentro del intervalo \( [0,2\pi ] \)
\[ t = 0 \] y \[ t = \pi \]
Evalúe \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = 0 \) para encontrar la pendiente \(m_1\) de la primera tangente
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} \\[15 pt] = 1 \]
Evalúe \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \pi \) para encontrar la pendiente \(m_2\) de la primera tangente
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} \\[15 pt] = - 1\]
Ecuaciones de la tangente en \( (0,0) \) con pendiente \( m_1 = 1 \)
\[ y = x \]
Ecuaciones de la tangente en \( (0,0) \) con pendiente \( m_2 = -1 \)
\[ y = - x \]
Fig.3 Gráfica de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t \) y \( y(t) = \sin t \cos t \) y las Rectas Tangentes en el Punto \( (0,0) \)
Preguntas
Pregunta 1
a) Dadas las ecuaciones paramétricas \(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = \cos t + 2 \\\\
y(t) & = \sin t - 1
\end{aligned} \right.
\end{equation} t \in [ \pi , 2 \pi ]
\), encuentre la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \dfrac{3 \pi}{2} \).
b) ¿Cuál es la concavidad de la curva cuyas ecuaciones paramétricas se dan en la parte a)?
c) Grafique la curva de las ecuaciones paramétricas dadas y verifique sus respuestas a las partes a) y b) anteriores.
Pregunta 2
Una curva está dada por su ecuación en coordenadas polares como \( r = 3-3\cos\theta \).
a) Encuentre la pendiente de la tangente a la curva para \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)
b) Encuentre \( \theta \) y \( r \) para que la tangente a la curva sea horizontal.
c) Use cualquier calculadora gráfica para graficar \( r \) en coordenadas polares y verifique las respuestas a la parte b).
Pregunta 3
En coordenadas polares, la ecuación de un círculo con radio \( R \) y centrado en el origen está dada por \( r = R \).
Encuentre las coordenadas rectangulares de todos los puntos en el círculo de radio 2 y centrado en el origen para que las tangentes en estos puntos tengan una pendiente igual a \( \dfrac{1}{2} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
Solución a la Pregunta 1
a)
Encuentre las derivadas \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \).
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = - \sin t \]
Encuentre la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior.
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{\cos t}{\sin t} = - \cot t\]
Evalúe \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \dfrac{3 \pi }{2} \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \cot \left(\dfrac{3 \pi }{2} \right) = 0\]
b)
La concavidad está dada por la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) mediante la fórmula (II) anterior.
\[
\begin{aligned}
& \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituya \( \dfrac{dy}{dx} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \) }} \\[12pt]
& = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left( - \cot t \right)}{- \sin t} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Evalúe lo anterior para obtener}} \\[8pt]
& \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \csc^3 (t) \\[15pt]
\end{aligned}
\]
\( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \) es negativo en el intervalo \( (\pi , 2\pi) \) y por lo tanto la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \csc^3 (t) \) es positiva y por consiguiente la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo \( (\pi , 2\pi) \).
c) La gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación y podemos ver que la tangente en \( t=\dfrac{3\pi}{2} \) es horizontal como se predijo en la parte a) donde la pendiente encontrada es igual a cero.
La curva es cóncava hacia arriba como se predijo en la parte b) anterior.
Fig.4 Gráfica de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \cos t + 2 \) y \( y(t) = \sin t - 1 \) y la Recta Tangente en el Punto \( t=\dfrac{3\pi}{2} \)
Solución a la Pregunta 2
a)
Las ecuaciones paramétricas de la curva dada en coordenadas polares como \( r = 3-3\cos\theta \).
Usando la conversión de coordenadas polares a rectangulares , escribimos las ecuaciones paramétricas como
\( x(\theta) = r \cos \theta = (3-3\cos\theta)\cos \theta \)
y
\( y(\theta) = r \sin \theta = (3-3\cos\theta)\sin \theta \)
donde \( \theta \) es el ángulo polar.
Use la fórmula (I) para encontrar la derivada y, por lo tanto, la pendiente de la tangente.
\[
\begin{aligned}
& \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) \\[15pt]
& \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin (2\theta)-3\sin \theta
\end{aligned}
\]
y por lo tanto
\[
\begin{aligned}
&\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituya \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \) por sus expresiones encontradas arriba} } \\[12pt]
& \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) }{3\sin (2\theta)-3\sin \theta } \\[15pt]
& \color{red}{\text{La pendiente \( m \) en \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) está dada por el valor de la primera derivada \( \dfrac{dy}{d\theta} \) en \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \). Por lo tanto}} \\[10pt]
& m = \dfrac{3\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) ( 3-3\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)) }{3\sin (2\left(\dfrac{\pi}{4}\right))-3\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) } \\[15pt]
& = \sqrt{2}+1 \\[15pt]
& \approx 2.41
\end{aligned}
\]
b)
Para que la tangente sea horizontal, la pendiente, dada por la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \), debe ser igual a cero.
Por lo tanto, necesitamos resolver \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) tal que \( \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \).
\[ 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \]
Use la identidad \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) en la ecuación anterior y reescriba como
\[ 3 (1 - \cos^2 \theta ) + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \]
Agrupe términos semejantes, simplifique y reescriba como
\[ 2 \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0\]
Resuelva la ecuación cuadrática anterior para encontrar
\( \cos \theta =1 \) y \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \)
lo que da los ángulos solución
\( \theta_1 = 0 \qquad \) , \( \qquad \theta_2 = \dfrac{2\pi}{3} \qquad \) y \( \qquad \theta_3 = \dfrac{4\pi}{3} \)
Nota que \( \theta_1 = 0 \) no se acepta como solución porque haría que el denominador \( \dfrac{dx}{d\theta} \) sea igual a cero.
Encuentre \( r \) en \( \qquad \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) = 4.5 \)
Encuentre \( r \) en \( \qquad \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3} \right) = 4.5 \)
c)
La gráfica de las ecuaciones polares dadas se muestra a continuación y podemos ver que la tangente en los puntos polares \( \left(4.5 , \dfrac{2\pi}{3} \right) \) y \( \left(4.5 , \dfrac{4\pi}{3} \right) \) son horizontales como se predijo en la parte b).
Fig.5 Gráfica de la Ecuación Polar \( r = 3 - 3 \cos \theta \) y las Rectas Tangentes en los Puntos \( \left(4.5 , \dfrac{2\pi}{3} \right) \) y \( \left(4.5 , \dfrac{4\pi}{3} \right) \)
Solución a la Pregunta 3 Convierta de coordenadas polares a rectangulares , escribimos las ecuaciones paramétricas como
\( x(\theta) = r \cos \theta = 2 \cos \theta \)
y
\( y(\theta) = r \sin \theta = 2 \sin \theta \)
donde \( \theta \) es el ángulo polar.
Calcule \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \)
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta \]
\[ \dfrac{dx}{d\theta} = - 2 \sin \theta \]
Encuentre \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior
\[
\begin{aligned}
&\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituya \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \) por sus expresiones encontradas arriba} } \\[12pt]
& = \dfrac{ 2 \cos \theta }{ - 2 \sin \theta} \\\\[15pt]
& \color{red}{\text{Simplifique lo anterior} } \\[12pt]
& = - \cot \theta
\end{aligned}
\]
La pendiente en un punto dado del círculo es igual al valor de la derivada encontrada anteriormente. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación
\[ - \cot \theta = 2 \]
que da las soluciones generales
\( \theta = 2.68 +\pi n \) donde \( n = 0, \pm 1 , \pm 2, .... \)
Necesitamos dos soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi ] \)
En radianes
\( \theta_1 \approx 2.68 \qquad \) y \( \qquad \theta_2 \approx 2.68 + \pi = 5.82 \)
En grados
\( \theta_1 \approx 153.55^{\circ} \qquad \) y \( \qquad \theta_2 = 333.46^{\circ} \)
Las coordenadas del punto A correspondiente a la solución \( \theta_1 \) están dadas por
\[ (2 \cos \theta_1 , 2 \sin \theta_1) = (-1.79 , 0.89) \]
Las coordenadas del punto B correspondiente a la solución \( \theta_2 \) están dadas por
\[ (2 \cos \theta_2 , 2 \sin \theta_2) = (1.79 , -0.89) \]
Fig.6 Gráfica de la Ecuación Polar de un Círculo \( r = 2 \) y las Rectas Tangentes con Pendientes Iguales a \( 1/2\)
