Derivadas de Ecuaciones Paramétricas y Aplicaciones
Se presentan las derivadas de las ecuaciones paramétricas con ejemplos y sus soluciones. También se incluyen algunas aplicaciones para encontrar pendientes de la línea tangente.
Se incluyen más preguntas con soluciones .
Primeras y Segundas Derivadas de Ecuaciones Paramétricas
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma
\[
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & \\\\
y(t) &
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\] ¿cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Primero encuentre la derivada \( \dfrac{dy}{dt} \) usando la regla de la cadena de diferenciación de la siguiente manera
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]
Divida el lado izquierdo y el lado derecho por \( \dfrac{dx}{dt} \) y simplifique para obtener
\[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{si} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I)\]
La segunda derivada está definida por
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]
El lado derecho en lo anterior se obtiene sustituyendo \( y \) por \( \dfrac{dy}{dx} \) en la fórmula (I) anterior, por lo tanto
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II)\]
Ejemplos y Sus Soluciones
Ejemplo 1
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = 2 t + 1 \\\\
y(t) & = t^2 -2
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\) , ¿cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Solución del Ejemplo 1
Encuentre \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \)
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2 t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = 2 \]
Use la fórmula anterior en (I) para obtener
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30pt] = \dfrac{2 t}{2} \]
Simplifique
\[ \dfrac{dy}{dx} = t \qquad (I) \]
También podemos expresar \( \dfrac{dy}{dx} \) en términos de \( x \). Use la ecuación paramétrica \( x = 2 t + 1 \) para encontrar \( t \) en términos de \( x \)
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]
Sustituya \( t \) por \( \dfrac{x - 1}{2} \) en (I) anterior
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]
Ejemplo 2
a) Encuentre la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) y la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) dadas ecuaciones paramétricas
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = 2(t - \sin t) \\\\
y(t) & = 2(1 - \cos t)
\end{aligned} \right.
\end{equation}
\)
y determine la concavidad de la curva.
b) Utilice una calculadora gráfica para verificar la respuesta sobre la concavidad en la parte a).
Solución del
Ejemplo 2
a)
Encuentre \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \)
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2 \sin t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = 2 (1 - \cos t) \]
Use la fórmula (I) anterior para encontrar \( \dfrac{dy}{dx} \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \\[35 pt] = \dfrac{\sin t}{ (1 - \cos t) } \]
Ahora calculamos \( \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) \)
\[ \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right) = \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \sin t}{ 1 - \cos t } \right) \\
= \dfrac{1}{\cos t - 1}
\]
Use la fórmula (II) y la derivada anterior para obtener la segunda derivada
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[30 pt] = \dfrac{ \dfrac{1}{\cos t - 1} }{ 2 (1 - \cos t) } \]
Simplifique
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = - \; \frac{1}{2\left(\cos \left(t\right)-1\right)^2} \]
La segunda derivada es siempre negativa, excepto en los valores de \( t \) que hacen que el denominador sea igual a \( 0 \), por lo tanto, la curva de las ecuaciones paramétricas dadas es cóncava hacia abajo .
b)
El gráfico de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación y se puede ver que la curva es cóncava hacia abajo como se muestra en la parte a) anterior. El gráfico se llama una cicloide.
Fig.1 Gráfico de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = 2(t - \sin t) \) y \( y(t) = 2(1 - \cos t) \) Llamada Cicloide
Ejemplo 3
a) Usa una calculadora gráfica para graficar la curva definida por la ecuación paramétrica
\(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = \sin t \\\\
y(t) & = \sin t \cos t
\end{aligned} \right. , t \in [0,2\pi]
\end{equation}
\)
b) Encuentra la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) y la ecuación de la(s) tangente(s) en el punto \( (0,0) \) y grafícalas.
Solución al Ejemplo 3
a)
El gráfico de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación.
Fig.2 Gráfico de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t \) y \( y(t) = \sin t \cos t \) para \( t \in [0,2\pi]\)
b)
Encuentra las derivadas \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \).
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]
Encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior.
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]
Encuentra el(los) valor(es) de \( t \) para los cuales \( (x,y) = (0,0) \) resolviendo las ecuaciones
\[ \sin t = 0 \] y \[ \sin t \cos t = 0 \]
lo que da
\[ \sin t = 0 \]
y las soluciones dentro del intervalo \( [0,2\pi ] \)
\[ t = 0 \] y \[ t = \pi \]
Evalúa \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = 0 \) para encontrar la pendiente \(m_1\) de la primera tangente
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} \\[15 pt] = 1 \]
Evalúa \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \pi \) para encontrar la pendiente \(m_2\) de la primera tangente
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} \\[15 pt] = - 1\]
Ecuaciones de la tangente en \( (0,0) \) con pendiente \( m_1 = 1 \)
\[ y = x \]
Ecuaciones de la tangente en \( (0,0) \) con pendiente \( m_2 = -1 \)
\[ y = - x \]
Fig.3 Gráfico de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \sin t \) y \( y(t) = \sin t \cos t \) y las Rectas Tangentes en el Punto \( (0,0) \)
Preguntas
Pregunta 1
a) Dadas las ecuaciones paramétricas \(
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
x(t) & = \cos t + 2 \\\\
y(t) & = \sin t - 1
\end{aligned} \right.
\end{equation} t \in [ \pi , 2 \pi ]
\), encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \dfrac{3 \pi}{2} \).
b) ¿Cuál es la concavidad de la curva cuyas ecuaciones paramétricas se dan en la parte a)?
c) Grafica la curva de las ecuaciones paramétricas dadas y verifica tus respuestas a la parte a) y b) anteriores.
Pregunta 2
Se da una curva por su ecuación en coordenadas polares como \( r = 3-3\cos\theta \).
a) Encuentra la pendiente de la tangente a la curva para \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)
b) Encuentra \( \theta \) y \( r \) de modo que la tangente a la curva sea horizontal.
c) Usa cualquier calculadora gráfica para graficar \( r \) en coordenadas polares y verifica las respuestas de la parte b).
Pregunta 3
En coordenadas polares, la ecuación de un círculo con radio \( R \) y centrado en el origen está dada por \( r = R \).
Encuentra las coordenadas rectangulares de todos los puntos en el círculo de radio 2 y centrado en el origen de modo que las tangentes en estos puntos tengan una pendiente igual a \( \dfrac{1}{2} \)
Soluciones a los Ejercicios Anteriores
Solución a la Pregunta 1
a)
Encuentra las derivadas \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \).
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t \]
\[ \dfrac{dx}{dt} = - \sin t \]
Encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior.
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \dfrac{\cos t}{\sin t} = - \cot t\]
Evalúa \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \dfrac{3 \pi }{2} \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = - \cot \left(\dfrac{3 \pi }{2} \right) = 0\]
b)
La concavidad está dada por la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) dada por la fórmula (II) anterior.
\[
\begin{aligned}
& \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituye \( \dfrac{dy}{dx} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \) }} \\[12pt]
& = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left( - \cot t \right)}{- \sin t} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Evalúa lo anterior para obtener}} \\[8pt]
& \dfrac{d^2 y}{dx^2} = -\csc^3 (x) \\[15pt]
\end{aligned}
\]
\( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) es negativa en el intervalo \( (\pi , 2\pi) \) y por lo tanto la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} = - \csc^3 (x) \) es positiva y por lo tanto la curva es cóncava hacia arriba en el intervalo \( (\pi , 2\pi) \).
c) El gráfico de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación y podemos ver que la tangente en \( t=\dfrac{3\pi}{2} \) es horizontal como se predijo en la parte a) donde la pendiente encontrada es igual a cero.
La curva es cóncava hacia arriba como se predijo en la parte b) anteriormente.
Fig.4 Gráfico de las Ecuaciones Paramétricas \( x(t) = \cos t + 2 \) y \( y(t) = \sin t - 1 \) y las Rectas Tangentes en el Punto \( t=\dfrac{3\pi}{2} \)
Solución a la Pregunta 2
a)
Las ecuaciones paramétricas de la curva dadas en coordenadas polares son \( r = 3-3\cos\theta \).
Usando la conversión de coordenadas polares a rectangulares , escribimos las ecuaciones paramétricas como
\( x(\theta) = r \cos \theta = (3-3\cos\theta)\cos \theta \)
y
\( y(\theta) = r \sin \theta = (3-3\cos\theta)\sin \theta \)
donde \( \theta \) es el ángulo polar.
Usa la fórmula (I) para encontrar la derivada y por lo tanto la pendiente de la tangente.
\[
\begin{aligned}
& \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) \\[15pt]
& \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin (2\theta)-3\sin \theta
\end{aligned}
\]
y por lo tanto
\[
\begin{aligned}
&\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituye \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \) por sus expresiones encontradas anteriormente} } \\[12pt]
& \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) }{3\sin (2\theta)-3\sin \theta } \\[15pt]
& \color{red}{\text{La pendiente \( m \) en \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \) está dada por el valor de la primera derivada \( \dfrac{dy}{d\theta} \) en \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \). Por lo tanto}} \\[10pt]
& m = \dfrac{3\sin^2 \left(\dfrac{\pi}{4}\right) + \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right) ( 3-3\cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)) }{3\sin (2\left(\dfrac{\pi}{4}\right))-3\sin \left(\dfrac{\pi}{4}\right) } \\[15pt]
& = \sqrt{2}+1 \\[15pt]
& \approx 2.41
\end{aligned}
\]
b)
Para que la tangente sea horizontal, la pendiente, dada por la primera derivada \( \dfrac{dy
}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \), debe ser igual a cero.
Por lo tanto, necesitamos resolver \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) de modo que \( \dfrac{dx}{d\theta} \ne 0 \).
\[ 3\sin^2 \theta + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \]
Usa la identidad \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \) en la ecuación anterior y reescribe como
\[ 3 (1 - \cos^2 \theta ) + \cos \theta ( 3-3\cos \theta) = 0 \]
Agrupa términos similares, simplifica y reescribe como
\[ 2 \cos^2 \theta - \cos \theta - 1 = 0\]
Resuelve la ecuación cuadrática anterior para encontrar
\( \cos \theta =1 \) y \( \cos \theta = -\frac{1}{2} \)
lo que da los ángulos de las soluciones
\( \theta_1 = 0 \qquad \) , \( \qquad \theta_2 = \dfrac{2\pi}{3} \qquad \) y \( \qquad \theta_3 = \dfrac{4\pi}{3} \)
Nota que \( \theta_1 = 0 \) no se acepta como solución porque hará que el denominador \( \dfrac{dx}{d\theta} \) sea igual a cero.
Encuentra \( r \) en \( \qquad \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) = 4.5 \)
Encuentra \( r \) en \( \qquad \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) , \( \qquad r = 3-3 \cos \left(\dfrac{4\pi}{3} \right) = 4.5 \)
c)
El gráfico de las ecuaciones polares dadas se muestra a continuación y podemos ver que la tangente en los puntos polares \( \left(4.5 , \left(\dfrac{2\pi}{3} \right) \right) \) y \( \left(4.5 , \left(\dfrac{4\pi}{3} \right) \right)\) son horizontales como se predijo en la parte b).
Fig.5 Gráfico de la Ecuación Polar \( r = 3 - 3 \cos \theta \) y las Rectas Tangentes en los Puntos \( \left(4.5 , \left(\dfrac{2\pi}{3}\right) \right) \) y \( \left(4.5 , \left(\dfrac{4\pi}{3}\right) \right) \)
Solución a la Pregunta 3 Convierte de coordenadas polares a coordenadas rectangulares , escribimos las ecuaciones paramétricas como
\( x(\theta) = r \cos \theta = 2 \cos \theta \)
y
\( y(\theta) = r \sin \theta = 2 \sin \theta \)
donde \( \theta \) es el ángulo polar.
Calcula \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \)
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 2 \cos \theta \]
\[ \dfrac{dx}{d\theta} = - 2 \sin \theta \]
Encuentra \( \dfrac{dy}{dx} \) usando la fórmula (I) anterior
\[
\begin{aligned}
&\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{d\theta}}{\dfrac{dx}{d\theta}} \\[15pt]
& \color{red}{\text{Sustituye \( \dfrac{dy}{d\theta} \) y \( \dfrac{dx}{d\theta} \) por sus expresiones encontradas anteriormente} } \\[12pt]
& = \dfrac{ 2 \cos \theta }{- 2 \sin \theta} \\\\[15pt]
& \color{red}{\text{Simplifica lo anterior} } \\[12pt]
& = - \cot \theta
\end{aligned}
\]
La pendiente en un punto dado del círculo es igual al valor de la derivada encontrada anteriormente. Por lo tanto, necesitamos resolver la ecuación
\[ - \cot \theta = 2 \]
lo que nos da las soluciones generales
\( \theta = 2.68 +\pi n \) donde \( n = 0, \pm 1 , \pm 2, .... \)
Necesitamos dos soluciones en el intervalo \( [0, 2\pi ] \)
En radianes
\( \theta_1 \approx 2.68 \qquad \) y \( \qquad \theta_2 \approx 2.68 + \pi = 5.82 \)
En grados
\( \theta_1 \approx 153.55^{\circ} \qquad \) y \( \qquad \theta_2 = 333.46^{\circ} \)
Las coordenadas del punto A correspondientes a la solución \( \theta_1 \) se dan por
\[ (2 \cos \theta_1 , 2 \sin \theta_1) = (-1.79 , 0.89) \]
Las coordenadas del punto B correspondientes a la solución \( \theta_2 \) se dan por
\[ (2 \cos \theta_2 , 2 \sin \theta_2) = (
1.79 , 0.89) \]
El gráfico de las ecuaciones paramétricas dadas se muestra a continuación y podemos ver que las tangentes en los puntos \( A \) y \( B \) tienen una pendiente igual a \( \dfrac{1}{2} \) como se predijo en el problema.
Fig.6 Gráfico de la Ecuación Polar de un Círculo \( r = 3 \) y las Rectas Tangentes con Pendientes Igual a \(1/ 2\)
