Las derivadas de ecuaciones paramétricas se presentan con ejemplos y sus soluciones. También se incluyen algunas aplicaciones para hallar pendientes de líneas tangentes y concavidad. Explora más preguntas con soluciones a continuación.
En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.
Primera y segunda derivadas de ecuaciones paramétricas
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) \\ y(t) \end{aligned} \right. \]¿Cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Primero, encuentra la derivada \( \dfrac{dy}{dt} \) utilizando la regla de la cadena de diferenciación:
\[ \dfrac{dy}{dt} = \dfrac{dy}{dx} \dfrac{dx}{dt} \]Dividiendo ambos lados por \( \dfrac{dx}{dt} \) y simplificando se obtiene:
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} \qquad \text{si} \; \dfrac{dx}{dt} \ne 0} \qquad (I) \]La segunda derivada se define por:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{d}{dx} \left(\dfrac{dy}{dx}\right) \]Sustituyendo \( y \) por \( \dfrac{dy}{dx} \) en la fórmula (I) anterior se obtiene:
\[ \boxed{ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{dy}{dx} \right)}{\dfrac{dx}{dt}} } \qquad (II) \]Ejemplos y sus soluciones
Haz clic en cada ejemplo para ver su solución detallada paso a paso.
Ejemplo 1
Dadas ecuaciones paramétricas de la forma:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2t + 1 \\ y(t) &= t^2 - 2 \end{aligned} \right. \]¿Cuál es la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \)?
Mostrar solución al ejemplo 1
Halla \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2 \]Utiliza la fórmula (I) para obtener:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2t}{2} = t \qquad (I) \]También podemos expresar \( \dfrac{dy}{dx} \) en términos de \( x \). Utiliza la ecuación paramétrica \( x = 2t + 1 \) para hallar \( t \) en términos de \( x \):
\[ t = \dfrac{x - 1}{2} \]Sustituye \( t \) en la ecuación (I):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x - 1}{2} \]Ejemplo 2
a) Halla la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) y la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) dadas las ecuaciones paramétricas:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= 2(t - \sin t) \\ y(t) &= 2(1 - \cos t) \end{aligned} \right. \]Y determina la concavidad de la curva.
b) Utiliza una utilidad de graficación para verificar la respuesta de concavidad de la parte a).
Mostrar solución al ejemplo 2
a)
Halla \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = 2\sin t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t) \]Utiliza la fórmula (I) para hallar \( \dfrac{dy}{dx} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2\sin t}{2(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \]A continuación, calcula \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \):
\[ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \right) = \dfrac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\dfrac{1}{1 - \cos t} = \dfrac{1}{\cos t - 1} \]Utiliza la fórmula (II) para obtener la segunda derivada:
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos t - 1}}{2(1 - \cos t)} = -\dfrac{1}{2(\cos t - 1)^2} \]La segunda derivada es siempre negativa (excepto donde el denominador es igual a 0), por lo tanto la curva de las ecuaciones paramétricas es cóncava hacia abajo.
b)
La gráfica de las ecuaciones paramétricas dadas (conocida como cicloide) confirma que la curva es enteramente cóncava hacia abajo.
Ejemplo 3
a) Grafica la curva definida por las ecuaciones paramétricas:
\[ \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \sin t \\ y(t) &= \sin t \cos t \end{aligned} \right., \quad t \in [0, 2\pi] \]b) Halla la primera derivada \( \dfrac{dy}{dx} \), las ecuaciones de la(s) línea(s) tangente(s) en el punto \( (0, 0) \) y grafícalas.
Mostrar solución al ejemplo 3
a)
b)
Halla las derivadas \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t, \quad \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]Halla \( \dfrac{dy}{dx} \) utilizando la fórmula (I):
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]Halla el o los valores de \( t \) para los cuales \( (x, y) = (0, 0) \) resolviendo \( \sin t = 0 \) y \( \sin t \cos t = 0 \) para \( t \in [0, 2\pi] \):
\[ t = 0 \quad \text{y} \quad t = \pi \]Evalúa \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = 0 \) para la primera pendiente \( m_1 \):
\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} = 1 \]Evalúa \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \pi \) para la segunda pendiente \( m_2 \):
\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} = -1 \]Ecuaciones de las tangentes en \( (0, 0) \):
\[ y = x \quad \text{y} \quad y = -x \]
Preguntas
Practica resolviendo los problemas a continuación. Haz clic en cada cuadro de solución para comprobar tus respuestas.
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Pregunta 1
a) Dadas las ecuaciones paramétricas \( \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \cos t + 2 \\ y(t) &= \sin t - 1 \end{aligned} \right., t \in [\pi, 2\pi] \), halla la derivada \( \dfrac{dy}{dx} \) en \( t = \dfrac{3\pi}{2} \).
b) ¿Cuál es la concavidad de la curva?
c) Grafica la curva y verifica tus respuestas. -
Pregunta 2
Una curva está dada en coordenadas polares por \( r = 3 - 3\cos\theta \).
a) Halla la pendiente de la tangente a la curva para \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \).
b) Halla \( \theta \) y \( r \) de modo que la tangente a la curva sea horizontal.
c) Grafica \( r \) en coordenadas polares y verifica tus respuestas. -
Pregunta 3
En coordenadas polares, la ecuación de un círculo de radio \( R \) centrado en el origen es \( r = R \). Halla las coordenadas rectangulares de todos los puntos en el círculo de radio 2 centrado en el origen donde las tangentes tienen una pendiente igual a \( \dfrac{1}{2} \).
Soluciones a los ejercicios anteriores
Solución a la pregunta 1
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a) Halla \( \dfrac{dy}{dt} \) y \( \dfrac{dx}{dt} \):
\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t, \quad \dfrac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \]Evalúa en \( t = \dfrac{3\pi}{2} \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = -\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]b) Calcula la segunda derivada \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \):
\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(-\cot t)}{-\sin t} = \dfrac{\csc^2 t}{-\sin t} = -\csc^3 t \]Dado que \( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \) es negativa sobre \( (\pi, 2\pi) \), la segunda derivada \( -\csc^3 t \) es positiva, lo que significa que la curva es cóncava hacia arriba en \( (\pi, 2\pi) \).
Solución a la pregunta 2
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a) Utilizando la conversión de polar a rectangular:
\[ x(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\cos\theta, \quad y(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\sin\theta \]Calculando las derivadas con respecto a \( \theta \):
\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta + \cos\theta(3 - 3\cos\theta), \quad \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin(2\theta) - 3\sin\theta \]En \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \), sustituir los valores da la pendiente \( m = \sqrt{2} + 1 \approx 2.41 \).
b) Para una tangente horizontal, haz \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) (con \( \dfrac{dx}{d\theta} \neq 0 \)):
\[ 3\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3\cos^2\theta = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \]La resolución produce \( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) y \( \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) (excluyendo \( \theta = 0 \) donde el denominador es cero). Los radios correspondientes son \( r = 4.5 \).
Solución a la pregunta 3
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Ecuaciones paramétricas para el círculo \( r = 2 \):
\[ x(\theta) = 2\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta \]La derivada es \( \dfrac{dy}{dx} = -\cot\theta \).
Iguala la pendiente a \( \dfrac{1}{2} \):
\[ -\cot\theta = \dfrac{1}{2} \implies \tan\theta = -2 \]Resolviendo para ángulos en \( [0, 2\pi] \):
\[ \theta_1 \approx 2.68 \text{ rad} \, (153.55^\circ), \quad \theta_2 \approx 5.82 \text{ rad} \, (333.46^\circ) \]Evaluando las coordenadas rectangulares:
\[ (2\cos\theta_1, 2\sin\theta_1) \approx (-1.79, 0.89) \] \[ (2\cos\theta_2, 2\sin\theta_2) \approx (1.79, -0.89) \]