Un conjunto de preguntas de Cálculo 1 con sus soluciones detalladas para practicar para pruebas, exámenes, exámenes de ubicación... y obtener una comprensión profunda de los siguientes temas:

1. Funciones
2. Límites
3. Continuidad
4. Derivados
5. Aplicaciones de Derivados

1. 
   Pregunta 1
   Encuentre el dominio de la función
2. 
   Pregunta 2
   Encuentre el rango de la función \( \)\( \)\( \)\( \)
3. 
   Pregunta 3
   Encuentra el inverso de la función \( f(x) = ln (2x - 3) + 2 \).
4. 
   Pregunta 4
   Evalúa cada uno de los siguientes límites
   
   
   
   
   
   
   
   
   
5. 
   Pregunta 5
   a) Grafique \( y = e^{x-1} \) y \( y = x \) en el mismo sistema de coordenadas y luego demuestre que las dos gráficas son tangentes en el punto \( (1,1) \) y que \( e^{x-1} \ge x \)
   b) Usa el resultado obtenido en el inciso a) para determinar la concavidad de la función \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \) y los puntos de inflexión si los hay.
6. 
   Pregunta 6
   Encuentre la derivada de las siguientes funciones y no simplifique la respuesta final.
   
   a) \( f(x) = e^{x-1} + \ln (3x-1) + \sin(2x+1) \)
   
   b) \( g(x) = (2x-1)^2(\tan(x)-1) \)
   
   c) \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2-2x+1} \)
   
   d) \( m(x) = \sin \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) \)
   
   e) \( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) \)
7. 
   Pregunta 7
   Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación \( \sin(y^2) = x^2 \) en el punto \( ( 0,\sqrt{\pi}) \).
8. 
   Pregunta 8
   Encuentra las constantes \( a \) y \( b \) para que la función \( f \) sea continua en \( (-\infty , +\infty ) \)
   \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 2x - 1 & x\le 1 \\ a x^3 + b & 1 \lt x \lt 2 \\ x + 2 b & x\ge 2 \\ \end{array} \right. \)
9. 
   Pregunta 9
   Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva con ecuación \( y = x + \sin(x) \) en \( x = 0 \).
10. 
    Pregunta 10
    Usa la definición de la derivada como límite para encontrar la derivada \( f' \) donde \( f(x) = \sqrt{x+2} \).
11. 
    Pregunta 11
    Determine en qué intervalo(s) está la función \( f(x) = e^x(x^2-5x+8)+\dfrac{x^4}{12}-\dfrac{x^3}{6 } \) cóncavo hacia arriba y cóncavo hacia abajo y cualquier punto de inflexión.
12. 
    Pregunta 12
    Usa el método de Newton con aproximación inicial \( x_1 = 2 \) para encontrar una segunda aproximación a la solución de la ecuación \( e^x = x^3 \).
13. 
    Pregunta 13
    Encuentra el máximo y el mínimo absolutos de la función \( f(x) = x^4 - x^3 \) en el intervalo \( [0,5] \).
14. 
    Pregunta 14
    Si las dimensiones \( L \),\( W \) y \( H\) de una caja rectangular están cambiando a razón de \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; cm/seg \quad \), \( \dfrac{dW}{dt} = - 0.2 \; cm/seg \quad \) y \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; cm/seg \quad\), ¿a qué velocidad es el volumen de la caja cambiando cuando \( L = 20 \; cm \), \( W = 8 \; cm \) y \( H = 5 \; cm \)?
15. 
    Pregunta 15
    ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con el área más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio 3?
    
    
    

Soluciones detalladas a las preguntas anteriores

1. 
   Solución a la Pregunta 1
   Para que la función \( f \) tome valores reales, la expresión bajo el radical en el numerador debe ser no negativa, y la expresión bajo el radical en el denominador debe ser positiva; de ahí las desigualdades a resolver
   \( x - 1 \ge 0 \) y \( 4 - x^2 \gt 0 \)
   Los conjuntos de soluciones para la primera y segunda desigualdad son respectivamente
   \( x \ge 1 \) y \( -2 \lt x \lt 2 \)
   Ambas desigualdades deben satisfacerse simultáneamente, por lo que el dominio de la función dada es la intersección de los conjuntos \( x \ ge 1 \) y \( -2 \lt x \lt 2 \) que viene dada por
   \( 1 \le x \lt 2 \)
   
   
2. 
   Solución a la pregunta 2
   Según las propiedades de las funciones inversas, una forma de encontrar las rango de la función dada es encontrar el dominio de su inversa.
   Primero demostremos que \( f \) es una función uno a uno y luego encontremos su inversa. Para probar que \( f \) es una función uno a uno y por lo tanto invertible, usamos la contrapositiva de la función uno a uno y comenzamos con \( f(a) = f(b) \) y demuestre que \( a = b \). Por eso
   \( \dfrac{a - 1}{2-3 a} = \dfrac{b - 1}{2-3 b} \)
   multiplicar en cruz
   \( (a - 1)(2-3 b) = (2 - 3 a)(b - 1) \)
   Expandir
   \( 2a - 2 - 3 a b + 3 b = 2 b - 2 - 3 ab + 3 a \)
   Agrupar términos similares
   \( 2 a = 2 b \)
   Resuelva para un
   \(a = b\)
   lo que prueba que la función \( f \) es una función uno a uno y por lo tanto tiene una función inversa
   La inversa de \( f \) se puede calcular a partir de la ecuación
   \( y = \dfrac{x - 1}{2-3x} \)
   Multiplica en cruz la ecuación anterior
   \( 2 y - 3 x y = x - 1 \)
   y resolver para \( x \)
   \( x = \dfrac{2 y + 1}{3y + 1} \)
   Intercambia \( x \) y \( y \) en la ecuación anterior para obtener la inversa \( f^{-1} \)
   \( f^{-1}(x) = y = \dfrac{2 x + 1 }{3x + 1} \).
   El dominio de \( f^{-1} \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( -\dfrac{1}{3} \). Por tanto, el rango de \( f \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( -\dfrac{1}{3} \) que puede escribirse en forma de intervalo como
   \( (-\infty , - \dfrac{1}{3}) \cup (- \dfrac{1}{3} , +\infty) \)
   
   
3. 
   Solución a la pregunta 3
   Escribe la función como una ecuación de la siguiente manera
   \( y = \ln (2x - 3) + 2 \)
   Resuelva lo anterior para x
   \( y - 2 = \ln (2x - 3) \)
   \( 2x - 3 = e^{y - 2} \)
   \( 2 x = e^{y - 2} + 3 \)
   \( x = \dfrac{1}{2} (e^{y - 2} + 3) \)
   Intercambiar \( x \) y \( y \)
   \( y = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)
   La inversa de \( f \) viene dada por
   \( f^{-1}(x) = \dfrac{1}{2} (e^{x - 2} + 3) \)
   
   
4. 
   Solución a la Pregunta 4
   a)
   El límite tiene la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \).
   Multiplica numerador y denominador por el conjugado del numerador \( -\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4} \)
   
   \( \lim_{x\to 16} \dfrac{-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4}}{x - 16 } \) = \( \lim_{x\to 16} \dfrac{ (-\dfrac{1}{\sqrt x} + \dfrac{1}{4})(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)
   Simplificar
   \( = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{16} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } = \lim_{x\to 16} \dfrac{ \dfrac{16-x}{16x} }{ (x - 16)(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4}) } \)
   
   \( = \lim_{x\to 16} \dfrac{-1}{16x(-\dfrac{1}{\sqrt x} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{-1}{16 \times 16(-\dfrac{1}{\sqrt 16} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{1}{128}\)
   
   b)
   El límite es de la forma indeterminada \( \dfrac{\infty}{\infty} \).
   Divide todos los términos en el numerador y todos los términos del denominador por el término con la potencia más alta que en \( x^4 \)
   \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{-x^3+2x-1}{x^4 - 3 x^3 + 9 } = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-x^3}{x^4}+\dfrac{2x}{x^4}-\dfrac{1}{x^4}}{\dfrac{x^4}{x^4} - \dfrac{3 x^3}{x^4} + \dfrac{9}{x^4} }\).
   Simplificar términos racionales
   \( = \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\dfrac{-1}{x}+\dfrac{2}{x^3}-\dfrac{1}{x^4}}{1 - \dfrac{3}{x} + \dfrac{9}{x^4} } = \dfrac{0+0-0}{1 - 0 + 0 } = \dfrac{0}{1} = 0\)
   
   C)
   El límite es de la forma indeterminada \( \infty \cdot 0 \).
   Sea \( t = \dfrac{3}{x} \) y reescriba el límite en términos de t.
   \( \lim_{x\to +\infty} x \sin(\dfrac{3}{x}) = \lim_{t\to 0} 3 \dfrac {\sin(t)}{t} \).
   Usando el conocido resultado \( \lim_{t\to 0} \dfrac {\sin(t)}{t} = 1 \), el límite se evalúa como
   \( = 3 \times 1 = 3\)
   
   d)
   \( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \dfrac{0}{0}\), forma indeterminada
   Usamos la Regla de L'Hospital para la forma indeterminada, podemos escribir
   \( \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin(x)+x}{2x^2+x} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ d (\sin(x)+x) / dx }{ d(2x^2+x)/dx} = \lim_{x\to 0} \dfrac{ cos(x)+ 1 }{ 4x+1} = \dfrac{ cos(0)+ 1 } { 4\times 0+1} = 2\)
   
   e)
   \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} \).
   Es bien sabido que el rango de \( \sin(x) \) viene dado por
   \( -1 \le \sin(x) \le 1 \)
   Sume 1 a todos los términos de la desigualdad para obtener la siguiente desigualdad
   \( -1 + 1 \le \sin(x) + 1 \le 1 + 1 \)
   \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \)
   Divide todos los términos de la desigualdad anterior entre positivo \( x \)
   \( \dfrac{0}{x} \le \dfrac{\sin(x) + 1}{x} \le \dfrac{2}{x} \)
   Tenemos \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{0}{x} = 0 \) y \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0 \)
   Usando el teorema del compresión (o sándwich) , podemos evaluar el límite dado de la siguiente manera
   \( \lim_{x\to +\infty} \dfrac{\sin(x)+1}{x} = 0 \)
   
   
5. 
   Solución a la Pregunta 5
   a)
   La gráfica de \( y = e^{x-1} \) y \( y = x \) se muestra a continuación. La derivada de \( y = e^{x-1} \) es igual a \( y ' = e^{x-1} \) y la pendiente \( m \) de la tangente en \( x = 1 \) es el valor de la derivada en \( x = 1\). Por eso
   
   
   \( metro = e^{1-1}= 1 \)
   La ecuación de la recta tangente en el punto \( (1,1) \) está dada por
   \( y - 1 = 1 \times (x - 1) \)
   Lo que simplifica a
   \( y = x \)
   Por lo tanto, las gráficas de \( y = e^{x-1} \) y \( y = x \) son tangentes en el punto \( (1,1) \) y por lo tanto podemos establecer gráficamente que \( e^ {x-1} \gex\).
   b)
   Las derivadas primera y segunda de \( f \) están dadas por
   \(f'(x) = \dfrac{x^2}{2}-e^{x-1} \)
   \( f''(x) = x-e^{x-1} \)
   Un punto de inflexión ocurre en un valor de \( x \) donde \( f''(x ) \) cambiar de signo. Hemos visto en la parte a) que \( e^{x-1} \ge x \) que se puede escribir como
   \(x-e^{x-1} \le 0 \)
   y por lo tanto \( f''(x) \) es negativa y tiene un cero en \( x = 1 \). Por tanto, la gráfica de \( f(x) \) es cóncava hacia abajo y no tiene un punto de inflexión porque \( f''(x) \) no cambia de signo.
   
   
6. 
   Solución a la Pregunta 6
   a) La regla de la suma de derivadas da: \( f'(x) = e^{x-1 } + \dfrac{3}{3x-1} + 2 \cos(2x+1) \)
   b) Regla del producto de derivadas: \( g'(x) = 4(2x-1)(\tan(x)-1) + (2x-1)^2(\sec^2(x)) \)
   c) regla del cociente de derivadas: \( h'(x) = \dfrac{ (1 + \sin(x))(x^2-2x+1) - (x - \cos(x))(2x-2 ) }{(x^2-2x+1)^2} \)
   
   d) Sea \( u = \sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \) , escriba la función \(m \) como \(m = \sin u \) luego use el regla de la cadena de derivadas
   
   \( m'(x) = \dfrac{d m}{d u} \dfrac{d u}{d x} = \cos(u) \dfrac{1}{2}(3x^2+\dfrac{1}{x ^2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)
   
   \( = \dfrac{1}{2} \cos \left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2} \right) (3x^2+\dfrac{1}{x^ 2})(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2)^{-1/2} \)
   
   mi)
   Reescribe \( 3^{ 2x+3} \) y \( \log_3(2x-1) \) como
   \( 3^{2x+3} = e^{(2x+3) \ln 3}\) , cambio de base de exponenciales
   \( \log_3(2x-1) = \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3}\) , cambio de base de logaritmos
   Sustituye y reescribe \( n(x) \) como
   \( n(x) = 3^{ 2x+3} + \log_3(2x-1) = e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{ \ln(2x-1)}{ \ln 3} \)
   ahora calculamos la derivada
   \( n'(x) = ( 2 \ln 3 ) e^{(2x+3) \ln 3} + \dfrac{1}{ \ln 3} \dfrac{2}{2x-1} = ( 2 \ln 3 ) 3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x-1)} \)
   
   
7. 
   Solución a la Pregunta 7
   Primero diferenciamos la ecuación dada implícitamente
   \( 2 y \dfrac{d y}{d x} \cos(y^2) = 2 x \)
   \( \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{ x}{ y \cos(y^2)} \)
   La pendiente \( m \) de la recta tangente viene dada por el valor de \( \dfrac{d y}{d x} \) en el punto \( ( 0,\sqrt{\pi}) \).
   \( m = \dfrac{(0)}{\sqrt{\pi} \cos((\sqrt{{\pi}})^2)} = 0 \)
   La ecuación, en forma de punto pendiente, de la recta tangente a la curva en el punto \( ( 0,\sqrt{\pi}) \) viene dada por
   \( y - \sqrt{\pi} = 0(x - 0) \)
   Es una línea horizontal dada por
   \( y = \sqrt{\pi} \)
   
   
8. 
   Solución a la Pregunta 8
   \( f(x) \) es continua en los intervalos \( (-\infty , 1) \) , \( (1,2) \) y \( (2 , +\infty) \). Necesitamos encontrar \( a \) y \( b \) para que también sea continua en \( x = 1 \) y \( x = 2 \) y por lo tanto continua en \( (-\infty , +\ infinito )\).
   \( f(1) = 1 \)
   \( \lim_{x\to 1^-} f(x) = 1 \)
   \( \lim_{x\to 1^+} f(x) = a(1)^3+b = a + b \)
   Los límites por la izquierda y la derecha de \( 1 \) deben ser iguales
   \( a + b = 1 \) (ecuación 1)
   \( f(2) = 2 + 2 b \)
   \( \lim_{x\to 2^-} f(x) = a(2)^3 + b = 8 a + b \)
   \( \lim_{x\to 2^+} f(x) = 2 + 2 b \)
   Los límites por la izquierda y la derecha de \( 2 \) deben ser iguales
   \( 8 a + b = 2 + 2 b \) (ecuación 2)
   Resuelva las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente para encontrar
   \( a = \dfrac{1}{3} \) y \( b = \dfrac{2}{3} \)
   
   
9. 
   Solución a la Pregunta 9
   Encuentra la derivada de \( y \).
   \( y' = 1 + \cos(x) \)
   La pendiente \( m \) de la tangente en \( x = 0 \) es igual al valor de \( y' \) en \( x = 0 \). Por eso
   \( metro = 1 + \cos(0) = 2 \)
   La coordenada y del punto de tangencia \( P \) viene dada por el valor de \( y \) en \( x = 0 \). Por eso
   \( P(0 , 0 + \sin(0)) = P(0,0) \)
   La ecuación de la recta tangente en forma de punto pendiente viene dada por
   \( y - 0 = 2(x - 0) \)
   y en forma de intersección de pendiente
   \( y = 2 x \)
   
   
10. 
    Solución a la Pregunta 10
    La definición de la derivada \( f' \) de la función \( f \) viene dada por el límite
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \)
    Sustituye \( f(x) \) por \( \sqrt{x+2} \) en la definición anterior para obtener
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} }{h} \)
    El límite anterior es de la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado del numerador
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (\sqrt{x + h +2}- \sqrt{x+2} ) (\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )} \)
    Expande el numerador y simplifica
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ (x + h + 2)- (x + 2) ) }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{ x+2} )} = \lim_{h\to 0} \dfrac{ h }{h(\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} )}\)
    Divide el numerador y el denominador entre \( h \) (o cancela \( h \))
    \( f'(x) = \lim_{h\to 0} \dfrac{ 1 }{\sqrt{x + h +2} + \sqrt{x+2} }\)
    Evaluar el límite y por lo tanto la derivada
    \( f'(x) = \dfrac{ 1 }{ \sqrt{x + 0 + 2} + \sqrt{x + 2} } = \dfrac{ 1 }{2 \sqrt{x + 2} }\)
    
    
    
11. 
    Solución a la Pregunta 11
    Encuentre las derivadas primera y segunda
    \( f'(x) = e^x (x^2-5x+8) + e^x (2 x -5) +\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{ 2} = e^x (x^2-3x+3)+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^2}{2} \)
    \( f''(x) = e^x(x^2-3x+3)+e^x(2x-3) + x^2-x = e^x(x^2-x)+x^ 2-x = x (x - 1) e^x \)
    \( f'' \) tiene dos ceros: \( x = 0 \) y \( x = 1\) y \( e^x \) siempre es positivo. Por lo tanto, la tabla de signos de \( f'' \) tiene tres intervalos
    1) \( (-\infty , 0 ) \) , valor de prueba \( x = -1 \) , \( f''(-1) = 2/e \) , por lo tanto \( f''(x) \) es positivo en el intervalo \( (-\infty , 0 ) \).
    2) \( (0 , 1 ) \) , valor de prueba \( x = 1/2 \) , \( f''(1/2) = -\dfrac{\sqrt 2}{4} \) , por lo tanto \( f''(x) \) es negativa en el intervalo \( (0 , 1 ) \).
    3) \( (1 , +\infty ) \) , valor de prueba \( x = 2 \) , \( f''(2) = 2e^2 \) , \( f''(x) \) es positivo en el intervalo \( (1 , +\infty ) \).
    \( f'' \) es cóncava hacia arriba en los intervalos \( (-\infty , 0 ) \) y \( (1 , +\infty ) \) , y cóncava hacia abajo en el intervalo \( (0 , 1 ) \).
    \( f'' \) cambia de signo en \( x = 0 \) y \( x = 1 \) y por lo tanto tiene puntos de inflexión en \( x = 0 \) y \( x = 1 \).
    
    
    
12. 
    Solución a la Pregunta 12
    El método de Newton se basa en el siguiente algoritmo: conocer una aproximación \( x_n \) a la solución de un ecuación \( f(x) = 0 \), la siguiente aproximación \( x_{n+1}\) a la ecuación viene dada por
    \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \).
    La solución de la ecuación dada \( e^x = x^3 \) es igual a la solución de la ecuación \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \)
    \( f'(x) = e^x - 3x^2 \)
    Conocemos una primera aproximación \( x_1 = 2 \); usando el algoritmo de Newton aproximamos \(x_2\) por
    \( x_{2} = x_1 - \dfrac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 2 - \dfrac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3 \times 2^2} \approx 1.87 \) (redondeado a dos decimales)
    Se puede obtener una aproximación \(x_3\) usando \( x_2 \) que se encuentra arriba y así sucesivamente.
    
    
    
13. 
    Solución a la Pregunta 13
    Calcula la primera derivada y factorízala.
    \( f'(x) = 4 x^3 - 3 x^2 = x^2(4x - 3)\)
    \( f'(x) \) tiene dos ceros en \( x = 0 \) y \( x = 3/4 \) y ambos están dentro del intervalo \( [0,5] \). Los ceros de \( f'(x) \) se llaman puntos críticos.
    Ahora evaluamos la función en los extremos del intervalo dado y los ceros de \( f'(x) \).
    \( f(0) = 0 \)
    \( f(5) = 5^4 - 5^3 = 500 \)
    \( f(3/4) = (3/4)^4 - (3/4)^3 = -\dfrac{27}{256} \)
    Comparando estos valores, \( f(x) \) tiene un máximo absoluto igual a \(500 \) en el extremo \( x = 5 \) y un mínimo absoluto igual a \( -\dfrac{27}{256} \) en el punto crítico \( x = 3/4 \)
    Se incluyen más preguntas sobre mínimo absoluto y máximo de una función.
    
    
14. 
    Solución a la Pregunta 14
    El volumen \( V \) de una caja rectangular de dimensiones \( L \),\( W \) y \( H\) viene dado por
    \( V = L(t) W(t) H(t) \)
    donde \( L(t)\) , \( W(t) \) y \( H(t) \) son funciones de tiempo \( t \).
    Dado que las dimensiones de la caja cambian con el tiempo, el volumen de la caja también cambia con el tiempo a la tasa de cambio de \( V\) viene dada por la primera derivada \( \dfrac{dV}{dt} \).
    \( \dfrac{dV}{dt} = W(t) H(t) \dfrac{d L}{dt } + L(t) H(t) \dfrac{d W}{dt } + L(t ) W(t) \dfrac{d H}{dt } \)
    Sustituir las cantidades conocidas por sus valores numéricos
    \( \dfrac{dV}{dt} = 8 \times 5 \times 0,1 + 20 \times 5 \times (-0,2) + 20 \times 8 \times 0,3 = 32 \; cm^3 / seg \)
    
    
    
15. 
    Solución a la Pregunta 15
    Ecuación de un círculo con radio \( 3 \) y centro en \( (0 , 0) \)dada por
    \( x^2 + y^2 = 3^2 \)
    Resuelve la ecuación anterior para y
    \(y^2 = 9 - x^2\)
    \( y = \pm \sqrt{9 - x^2} \)
    La ecuación para el semicírculo superior es \( y = \sqrt(9-x^2) \)
    Un punto en el semicírculo con coordenada x \( x \) tiene una coordenada y igual a \(\sqrt{9 - x^2} \) (ver el gráfico a continuación)
    El rectángulo tiene una longitud \( L = 2x \) y un ancho (o alto) \( W = \sqrt(9-x^2) \). El área \( A \) del rectángulo está dada por
    \( A(x) = L \times W = 2 x \sqrt(9-x^2) \) , \( 0 \le x \le 3 \)
    
    Encuentra la primera derivada de \( A \)
    \( \dfrac{d A}{dx} = 2\sqrt{9-x^2} + (2x) (\dfrac{1}{2}) (-2x) (9-x^2)^{- 1/2} =\dfrac{2\left(-2x^2+9\right)}{\sqrt{9-x^2}} \)
    Los ceros de \( \dfrac{d A}{dx} \) están dados por los ceros del numerador de \( \dfrac{d A}{dx} \)
    \( -2x^2+9 = 0 \)
    Da dos ceros: \( x = \sqrt{4.5} \) y \( x = - \sqrt{4.5} \)
    Consideramos el cero en \( x = \sqrt{4.5} \) ya que está dentro del intervalo \( [0 , 3 ] \)
    Ahora evaluamos el área \( A(x) \) en los extremos \( x = 0 \) y \( x = 3 \) y en el punto crítico \( x = \sqrt{4.5} \).
    \( A(0) = 0 \)
    \( A(3) = 0 \)
    \( A(\sqrt{4.5}) = 9 \)
    El área A es máxima es para \( x = \sqrt{4.5} \)
    Las dimensiones son:
    \( L = 2 x = 2 \sqrt{4.5} \approx = 4.24 \)
    \( W = \sqrt(9-x^2) = \sqrt(9-\sqrt{4.5}^2) \approx 2.12 \)
    Se incluyen más problemas de optimización.

Más referencias y enlaces