Preguntas de práctica de Cálculo 1 - Conjunto A

Preguntas de práctica y soluciones detalladas

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1. Pregunta 1
   Halla el dominio de la función: \[ f(x) = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{4 - x^2}} \]
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   Para que la función \( f \) tome valores reales, la expresión bajo el radical en el numerador debe ser no negativa, y la expresión bajo el radical en el denominador debe ser positiva. Resolvemos las inecuaciones:

   \[ x - 1 \ge 0 \quad \text{y} \quad 4 - x^2 > 0 \]

   Los conjuntos solución para la primera y segunda inecuaciones son respectivamente:

   \[ x \ge 1 \quad \text{y} \quad -2 < x < 2 \]

   Ambas condiciones deben satisfacerse simultáneamente. Por lo tanto, el dominio es la intersección de estos dos conjuntos:

   \[ 1 \le x < 2 \]
2. Pregunta 2
   Halla el rango de la función: \[ f(x) = \frac{x - 1}{2 - 3x} \]
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   De acuerdo con las propiedades de las funciones inversas, el rango de \( f \) es el dominio de su inversa.

   Primero, prueba que \( f \) es una función uno a uno asumiendo \( f(a) = f(b) \) y mostrando que \( a = b \):

   \[ \frac{a - 1}{2 - 3a} = \frac{b - 1}{2 - 3b} \]

   Multiplicando en cruz y simplificando se da \( a = b \), lo que prueba la invertibilidad. Para hallar la inversa, comienza con:

   \[ y = \frac{x - 1}{2 - 3x} \implies 2y - 3xy = x - 1 \implies x = \frac{2y + 1}{3y + 1} \]

   Intercambiando \( x \) e \( y \) se obtiene la función inversa:

   \[ f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3x + 1} \]

   El dominio de \( f^{-1} \) excluye \( x = -\dfrac{1}{3} \). Por lo tanto, el rango de \( f \) en notación de intervalos es:

   \[ \left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(-\frac{1}{3}, +\infty\right) \]
3. Pregunta 3
   Halla la inversa de la función: \[ f(x) = \ln(2x - 3) + 2 \]
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   Escribe la función como una ecuación y despeja \( x \):

   \[ y = \ln(2x - 3) + 2 \] \[ y - 2 = \ln(2x - 3) \] \[ e^{y - 2} = 2x - 3 \implies 2x = e^{y - 2} + 3 \implies x = \frac{1}{2}\left(e^{y - 2} + 3\right) \]

   Intercambiando \( x \) e \( y \) se obtiene la función inversa:

   \[ f^{-1}(x) = \frac{1}{2}\left(e^{x - 2} + 3\right) \]
4. Pregunta 4
   Evalúa cada uno de los siguientes límites:
   • \( \displaystyle \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} \)
   • \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} \)
   • \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) \)
   • \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} \)
   • \( \displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{\sin(x) + 1}{x} \)
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   a) El límite es de la forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del numerador:

   \[ \lim_{x \to 16} \frac{-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}}{x - 16} = \lim_{x \to 16} \frac{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{4}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{16}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} \] \[ = \lim_{x \to 16} \frac{\frac{16 - x}{16x}}{(x - 16)\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \lim_{x \to 16} \frac{-1}{16x\left(-\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{-1}{16(16)\left(-\frac{1}{4} - \frac{1}{4}\right)} = \frac{1}{128} \]

   b) El límite es de la forma \( \dfrac{\infty}{\infty} \). Divide todos los términos por la potencia más alta \( x^4 \):

   \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{-x^3 + 2x - 1}{x^4 - 3x^3 + 9} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-\frac{1}{x} + \frac{2}{x^3} - \frac{1}{x^4}}{1 - \frac{3}{x} + \frac{9}{x^4}} = \frac{0}{1} = 0 \]

   c) Forma indeterminada \( \infty \cdot 0 \). Sea \( t = \dfrac{3}{x} \):

   \[ \lim_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{3}{x}\right) = \lim_{t \to 0} 3 \frac{\sin(t)}{t} = 3 \times 1 = 3 \]

   d) Forma indeterminada \( \dfrac{0}{0} \). Aplica la regla de L'Hôpital:

   \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x) + x}{2x^2 + x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) + 1}{4x + 1} = \frac{\cos(0) + 1}{0 + 1} = 2 \]

   e) Dado que \( -1 \le \sin(x) \le 1 \), al sumar 1 se obtiene \( 0 \le \sin(x) + 1 \le 2 \). Dividiendo por \( x > 0 \):

   \[ 0 \le \frac{\sin(x) + 1}{x} \le \frac{2}{x} \]

   Por el teorema de compresión, dado que los límites de las cotas son 0, el límite se evalúa como \( 0 \).

5. Pregunta 5
   a) Grafica \( y = e^{x-1} \) e \( y = x \) en el mismo sistema de coordenadas, muestra que las dos gráficas son tangentes en el punto \( (1, 1) \), y verifica que \( e^{x-1} \ge x \).
   b) Utiliza el resultado de la parte a) para determinar la concavidad de la función \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \) y cualquier punto de inflexión.
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   a) La derivada de \( y = e^{x-1} \) es \( y' = e^{x-1} \). En \( x = 1 \), la pendiente es \( m = e^{1-1} = 1 \). La línea tangente en \( (1, 1) \) es \( y - 1 = 1(x - 1) \implies y = x \). Por lo tanto, las gráficas son tangentes en \( (1, 1) \) y \( e^{x-1} \ge x \).

   

   b) Dada \( f(x) = \dfrac{x^3}{6} - e^{x-1} \), las derivadas son:

   \[ f'(x) = \frac{x^2}{2} - e^{x-1}, \quad f''(x) = x - e^{x-1} \]

   Dado que \( e^{x-1} \ge x \implies x - e^{x-1} \le 0 \), \( f''(x) \le 0 \) en todas partes (con igualdad en \( x = 1 \)). Por lo tanto, \( f(x) \) es cóncava hacia abajo en \( (-\infty, +\infty) \) y no tiene puntos de inflexión ya que \( f'' \) no cambia de signo.

6. Pregunta 6
   Halla la derivada de las siguientes funciones (no simplifiques la respuesta final):
   • \( f(x) = e^{x-1} + \ln(3x - 1) + \sin(2x + 1) \)
   • \( g(x) = (2x - 1)^2(\tan(x) - 1) \)
   • \( h(x) = \dfrac{x - \cos(x)}{x^2 - 2x + 1} \)
   • \( m(x) = \sin\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \)
   • \( n(x) = 3^{2x+3} + \log_3(2x - 1) \)
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   a) Regla de la suma: \( f'(x) = e^{x-1} + \dfrac{3}{3x - 1} + 2\cos(2x + 1) \)

   b) Regla del producto: \( g'(x) = 4(2x - 1)(\tan(x) - 1) + (2x - 1)^2\sec^2(x) \)

   c) Regla del cociente: \( h'(x) = \dfrac{(1 + \sin(x))(x^2 - 2x + 1) - (x - \cos(x))(2x - 2)}{(x^2 - 2x + 1)^2} \)

   d) Regla de la cadena: \( m'(x) = \cos\left(\sqrt{x^3 - \dfrac{1}{x} + 2}\right) \cdot \frac{1}{2}\left(3x^2 + \frac{1}{x^2}\right)\left(x^3 - \dfrac{1}{x} + 2\right)^{-1/2} \)

   e) Reescribiendo las bases: \( n(x) = e^{(2x+3)\ln 3} + \dfrac{\ln(2x-1)}{\ln 3} \implies n'(x) = (2\ln 3)3^{2x+3} + \dfrac{2}{\ln 3(2x - 1)} \)

7. Pregunta 7
   Halla la ecuación de la línea tangente a la curva dada por \( \sin(y^2) = x^2 \) en el punto \( (0, \sqrt{\pi}) \).
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   Derivando implícitamente con respecto a \( x \):

   \[ 2y \frac{dy}{dx}\cos(y^2) = 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y\cos(y^2)} \]

   Evaluando en \( (0, \sqrt{\pi}) \):

   \[ m = \frac{0}{\sqrt{\pi}\cos(\pi)} = 0 \]

   La ecuación de la línea tangente horizontal es:

   \[ y = \sqrt{\pi} \]
8. Pregunta 8
   Halla las constantes \( a \) y \( b \) de modo que la función \( f \) sea continua en \( (-\infty, +\infty) \): \[ f(x) = \begin{cases} 2x - 1 & x \le 1 \\ ax^3 + b & 1 < x < 2 \\ x + 2b & x \ge 2 \end{cases} \]
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   Continuidad en \( x = 1 \):

   \[ \lim_{x \to 1^-} (2x - 1) = 1, \quad \lim_{x \to 1^+} (ax^3 + b) = a + b \implies a + b = 1 \quad \text{(Eq. 1)} \]

   Continuidad en \( x = 2 \):

   \[ \lim_{x \to 2^-} (ax^3 + b) = 8a + b, \quad \lim_{x \to 2^+} (x + 2b) = 2 + 2b \implies 8a + b = 2 + 2b \quad \text{(Eq. 2)} \]

   Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) simultáneamente se obtiene:

   \[ a = \frac{1}{3}, \quad b = \frac{2}{3} \]
9. Pregunta 9
   Halla la ecuación de la línea tangente a la curva dada por \( y = x + \sin(x) \) en \( x = 0 \).
   Mostrar solución a la pregunta 9

   Derivada: \( y' = 1 + \cos(x) \). La pendiente en \( x = 0 \) es \( m = 1 + \cos(0) = 2 \).

   Punto de tangencia: \( P(0, 0 + \sin(0)) = (0, 0) \).

   Ecuación de la línea tangente: \( y - 0 = 2(x - 0) \implies y = 2x \).

10. Pregunta 10
    Utiliza la definición de la derivada como un límite para hallar \( f'(x) \) donde \( f(x) = \sqrt{x + 2} \).
    Mostrar solución a la pregunta 10

    Utilizando la definición de límite de la derivada:

    \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h + 2} - \sqrt{x + 2}}{h} \]

    Multiplica por el conjugado:

    \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h + 2) - (x + 2)}{h\left(\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}\right)} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 2} + \sqrt{x + 2}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 2}} \]
11. Pregunta 11
    Determina en qué intervalo(s) la función \( f(x) = e^x(x^2 - 5x + 8) + \dfrac{x^4}{12} - \dfrac{x^3}{6} \) es cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo, y localiza cualquier punto de inflexión.
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    Primera derivada: \( f'(x) = e^x(x^2 - 3x + 3) + \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} \)

    Segunda derivada: \( f''(x) = e^x(x^2 - x) + x^2 - x = x(x - 1)e^x \)

    Los ceros de \( f'' \) son \( x = 0 \) y \( x = 1 \). Probando intervalos:

    • \( (-\infty, 0) \): \( f''(-1) > 0 \) (cóncava hacia arriba)
    • \( (0, 1) \): \( f''(1/2) < 0 \) (cóncava hacia abajo)
    • \( (1, +\infty) \): \( f''(2) > 0 \) (cóncava hacia arriba)

    Los puntos de inflexión ocurren en \( x = 0 \) y \( x = 1 \).

12. Pregunta 12
    Utiliza el método de Newton con una aproximación inicial \( x_1 = 2 \) para hallar una segunda aproximación a la solución de la ecuación \( e^x = x^3 \).
    Mostrar solución a la pregunta 12

    Sea \( f(x) = e^x - x^3 = 0 \). Entonces \( f'(x) = e^x - 3x^2 \).

    Utilizando el algoritmo de Newton \( x_{n+1} = x_n - \dfrac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) con \( x_1 = 2 \):

    \[ x_2 = 2 - \frac{e^2 - 2^3}{e^2 - 3(2^2)} \approx 1.87 \]
13. Pregunta 13
    Halla el máximo y mínimo absolutos de la función \( f(x) = x^4 - x^3 \) en el intervalo \( [0, 5] \).
    Mostrar solución a la pregunta 13

    Derivada: \( f'(x) = 4x^3 - 3x^2 = x^2(4x - 3) \). Los puntos críticos son \( x = 0 \) y \( x = 3/4 \).

    Evaluando en los extremos y puntos críticos en \( [0, 5] \):

    \[ f(0) = 0, \quad f(5) = 500, \quad f(3/4) = -\frac{27}{256} \]

    El máximo absoluto es \( 500 \) en \( x = 5 \), y el mínimo absoluto es \( -\dfrac{27}{256} \) en \( x = 3/4 \).

14. Pregunta 14
    Si las dimensiones \( L \), \( W \) y \( H \) de una caja rectangular están cambiando a las tasas \( \dfrac{dL}{dt} = 0.1 \; \text{cm/seg} \), \( \dfrac{dW}{dt} = -0.2 \; \text{cm/seg} \) y \( \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \; \text{cm/seg} \), ¿a qué tasa está cambiando el volumen de la caja cuando \( L = 20 \; \text{cm} \), \( W = 8 \; \text{cm} \) y \( H = 5 \; \text{cm} \)?
    Mostrar solución a la pregunta 14

    Fórmula del volumen: \( V = LWH \). Derivando con respecto al tiempo \( t \):

    \[ \frac{dV}{dt} = WH\frac{dL}{dt} + LH\frac{dW}{dt} + LW\frac{dH}{dt} \]

    Sustituyendo los valores dados (\( L = 20, W = 8, H = 5, \dfrac{dL}{dt} = 0.1, \dfrac{dW}{dt} = -0.2, \dfrac{dH}{dt} = 0.3 \)):

    \[ \frac{dV}{dt} = (8)(5)(0.1) + (20)(5)(-0.2) + (20)(8)(0.3) = 32 \; \text{cm}^3/\text{seg} \]
15. Pregunta 15
    ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo con el área más grande que se puede inscribir en un semicírculo de radio 3?
    

    

    Mostrar solución a la pregunta 15

    Ecuación del círculo: \( x^2 + y^2 = 9 \implies y = \sqrt{9 - x^2} \). Dimensiones del rectángulo: \( L = 2x \) y \( W = \sqrt{9 - x^2} \).

    Función de área: \( A(x) = 2x\sqrt{9 - x^2} \) para \( 0 \le x \le 3 \).

    

    Derivada: \( A'(x) = \dfrac{2(-2x^2 + 9)}{\sqrt{9 - x^2}} \). Al establecer \( A'(x) = 0 \) se obtiene el punto crítico \( x = \sqrt{4.5} \).

    Evaluando se obtiene el área máxima en \( x = \sqrt{4.5} \), lo que lleva a las dimensiones:

    \[ L = 2\sqrt{4.5} \approx 4.24, \quad W = \sqrt{9 - 4.5} \approx 2.12 \]

Más referencias y enlaces

• Tutoriales de problemas de optimización
• Problemas y tutoriales de cálculo
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