Fórmula de Euler

Demostración y derivación paso a paso usando series de Taylor

A continuación se presenta la demostración de la fórmula de Euler utilizando series de Taylor.

En lo que sigue, \( C \) representa la constante de integración cuando corresponda.

Derivación de la fórmula de Euler

Consultando las tablas de fórmulas matemáticas, la expansión en serie de Taylor de \( e^z \) está dada por:

\[ e^z = 1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{z^5}{5!} + \frac{z^6}{6!} + \frac{z^7}{7!} + \dots + \frac{z^n}{n!} + \dots \]

Sea \( z = ix \), donde \( x \) es un número real y \( i = \sqrt{-1} \) es la unidad imaginaria:

\[ e^{ix} = 1 + (ix) + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \frac{(ix)^5}{5!} + \frac{(ix)^6}{6!} + \frac{(ix)^7}{7!} + \dots \]

Desarrollando las potencias de \( ix \):

\[ e^{ix} = 1 + ix + i^2 \frac{x^2}{2!} + i^3 \frac{x^3}{3!} + i^4 \frac{x^4}{4!} + i^5 \frac{x^5}{5!} + i^6 \frac{x^6}{6!} + i^7 \frac{x^7}{7!} + \dots + i^n \frac{x^n}{n!} + \dots \]

Utilizando las propiedades cíclicas de las potencias de \( i \):

\( i^2 = -1 \)
\( i^3 = i^2 \cdot i = -i \)
\( i^4 = i^3 \cdot i = 1 \)
\( i^5 = i^4 \cdot i = i \)
\( i^6 = i^5 \cdot i = -1 \)
\( i^7 = i^6 \cdot i = -i \)

Sustituyendo estos valores de nuevo en la expansión:

\[ e^{ix} = 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i\frac{x^7}{7!} + \dots \]

Agrupando los términos reales y sacando factor común \( i \) de los términos imaginarios se obtiene la ecuación \( (I) \):

\[ e^{ix} = \left(1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots\right) + i\left(x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots\right) \quad (I) \]

A partir de las tablas de fórmulas matemáticas, las series de Taylor para \( \sin x \) y \( \cos x \) son:

\[ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots \] \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots \]

Sustituyendo estas series en la ecuación \( (I) \), la parte real corresponde a \( \cos x \) y la parte imaginaria corresponde a \( \sin x \):

\[ e^{ix} = \cos x + i \sin x \]

Más referencias y enlaces

  1. Series de Taylor y Maclaurin con ejemplos
  2. Tablas de fórmulas matemáticas
  3. University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
  4. Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
  5. Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
  6. Página Principal