Fórmulas Detalladas, Definiciones y Soluciones Paso a Paso
Una sucesión es una lista ordenada de números. Una sucesión aritmética tiene una diferencia común, mientras que una sucesión geométrica tiene una razón común. Una serie es la suma de los términos de una sucesión.
Diferencia Común (d): \( d = a_{n} - a_{n-1} \)
Término N-ésimo:
\[ a_n = a + (n-1)d \]Suma de \( n \) términos (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \] \[ S_n = \frac{n}{2}(a + a_n) \]Razón Común (r): \( r = \frac{a_{n}}{a_{n-1}} \)
Término N-ésimo:
\[ a_n = a \cdot r^{n-1} \]Suma de \( n \) términos (\( S_n \)):
\[ S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}, \quad r \ne 1 \]Una serie geométrica infinita tiene una suma finita (converge) solo si la razón común satisface \( |r| < 1 \). Si \( |r| \ge 1 \), la serie diverge y no tiene suma.
Suma al Infinito (\( S_{\infty} \)):
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} \]Pregunta 1 (Aritmética): Encuentra el decimoquinto término de la sucesión aritmética: \( 10, 6, 2, -2, \dots \)
Identifica el primer término \( a = 10 \) y la diferencia común \( d = 6 - 10 = -4 \).
\[ a_{15} = 10 + (15-1)(-4) \] \[ a_{15} = 10 + 14(-4) = 10 - 56 = -46 \]Pregunta 2 (Geométrica): Encuentra el octavo término de la sucesión geométrica: \( 5, 10, 20, 40, \dots \)
Identifica \( a = 5 \) y \( r = 10/5 = 2 \). Resuelve para \( a_8 \):
\[ a_8 = 5 \cdot (2)^{8-1} = 5 \cdot 2^7 \] \[ a_8 = 5 \cdot 128 = 640 \]Pregunta 3 (Desafío): En una sucesión aritmética, \( a_3 = 13 \) y \( a_9 = 37 \). Encuentra el primer término \( a \) y la diferencia común \( d \).
Establece dos ecuaciones usando \( a_n = a + (n-1)d \):
(1) \( a + 2d = 13 \)
(2) \( a + 8d = 37 \)
Resta (1) de (2): \( 6d = 24 \Rightarrow d = 4 \).
Sustituye \( d=4 \) en (1): \( a + 2(4) = 13 \Rightarrow a + 8 = 13 \Rightarrow a = 5 \).
Pregunta 4 (Suma Aritmética): Encuentra la suma de los primeros 50 números enteros positivos pares.
La sucesión es \( 2, 4, 6, \dots \), así que \( a = 2 \), \( d = 2 \) y \( n = 50 \).
\[ S_{50} = \frac{50}{2}[2(2) + (50-1)(2)] \] \[ S_{50} = 25[4 + 98] = 25[102] = 2550 \]Pregunta 5 (Suma Geométrica): Encuentra la suma de los primeros 6 términos de la serie geométrica: \( 3, -6, 12, -24, \dots \)
Identifica \( a = 3 \), \( r = -2 \) y \( n = 6 \):
\[ S_6 = \frac{3((-2)^6 - 1)}{-2 - 1} \] \[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{-3} = \frac{3(63)}{-3} = -63 \]Pregunta 6 (Desafío): Encuentra la suma de todos los múltiplos de 7 de tres dígitos.
Primer múltiplo \( a = 105 \). Último múltiplo \( a_n = 994 \). Diferencia común \( d = 7 \).
Encuentra \( n \): \( 994 = 105 + (n-1)7 \Rightarrow 889 = 7(n-1) \Rightarrow n = 128 \).
Encuentra la suma: \[ S_{128} = \frac{128}{2}(105 + 994) = 64(1099) = 70336 \]
Pregunta 7: Determina la suma de la serie infinita: \( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots \)
Identifica \( a = 1 \) y \( r = 0.5 \). Dado que \( |0.5| < 1 \), la serie converge:
\[ S_{\infty} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - 0.5} = \frac{1}{0.5} = 2 \]Pregunta 8: Una serie geométrica infinita tiene una suma de 20 y un primer término de 5. Encuentra la razón común \( r \).