Preguntas, Soluciones e Interpretaciones Gráficas Paso a Paso
Una función racional se define como la razón de dos polinomios. El dominio consiste en todos los números reales excepto aquellos que hacen que el denominador sea igual a cero.
La función $y = \frac{1}{x}$ solo está definida cuando $x \neq 0$. En notación de intervalos, el dominio es $(-\infty, 0) \cup (0, \infty)$. Como se observa en el gráfico a continuación, la función no está definida en la línea vertical $x = 0$.
Encuentra el dominio de la función: \[ f(x) = \dfrac{1}{x - 2} \]
La función no está definida donde el denominador es cero:
\[ x - 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 2 \]Dominio: Todos los números reales excepto $x = 2$.
\[ (-\infty, 2) \cup (2, \infty) \]
Encuentra el dominio de la función: \[ f(x) = \dfrac{x + 3}{(x - 1)(x + 2)} \]
El denominador es cero si cualquiera de los factores es cero:
\[ (x - 1) = 0 \quad \text{o} \quad (x + 2) = 0 \] \[ x = 1, \quad x = -2 \]Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Encuentra el dominio de la función: \[ f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 4} \]
Iguala el denominador a cero y factoriza:
\[ x^2 - 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (x - 2)(x + 2) = 0 \] \[ x = 2, \quad x = -2 \]Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$.
Encuentra el dominio de: \[ f(x) = \dfrac{x + 1}{x^2 + x - 2} \]
Factoriza el denominador trinómico:
\[ x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) \]El denominador es cero en $x = -2$ y $x = 1$.
Dominio: $(-\infty, -2) \cup (-2, 1) \cup (1, \infty)$.
Encuentra el dominio de: \[ f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + x + 5} \]
Comprueba si $x^2 + x + 5 = 0$ tiene raíces reales usando el discriminante ($\Delta$):
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (1)^2 - 4(1)(5) = -19 \]Como $\Delta < 0$, no hay valores reales que hagan que el denominador sea cero.
Dominio: Todos los números reales, $(-\infty, \infty)$.
