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Aprende a encontrar la amplitud, el período y el desplazamiento de fase de funciones trigonométricas analizando sus gráficas. Esta guía proporciona preguntas paso a paso con soluciones detalladas y explicaciones claras para ayudarte a dominar estos conceptos. Para apoyo adicional, explora nuestros tutoriales interactivos sobre el desplazamiento de fase, el período y los desplazamientos verticales de funciones trigonométricas.
Encuentra la amplitud, el período y el desplazamiento de fase para las curvas mostradas abajo, luego escribe la función en la forma \( y = a \sin(bx + c) \).
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a) Gráfica en 1.a: Para una función de la forma \( y = a \sin(bx + c) \), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En la gráfica 1.a, tenemos:
Amplitud: \[ |a| = 2 \]
Reproducimos la gráfica de 1.a abajo y anotamos lo siguiente:
4 divisiones pequeñas = \( \pi \), y por lo tanto 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Un período = 16 divisiones pequeñas; por lo tanto:
\[ 1 \text{ período} = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \]
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento entre las gráficas de \( y = a \sin(bx) \) y \( y = a \sin(bx + c) \) y se define por \( -\dfrac{c}{b} \).
En la gráfica de 1.a el desplazamiento de fase es igual a \( -\dfrac{\pi}{4} \) como se muestra abajo (1 división pequeña a la izquierda):
Ahora usamos los resultados encontrados para escribir una ecuación de la forma \( y = a \sin(bx + c) \) para la gráfica en 1.a:
\( |a| = 2 \), por lo tanto \( a = \pm 2 \). Sea \( a = 2 \).
1 período = \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto: \[ b = \dfrac{2\pi}{4\pi} = \dfrac{1}{2} \]
Desplazamiento de fase = \( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{b} \).
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = b \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \]
Ecuación de la gráfica 1.a: \[ y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right) \]
b) Gráfica en 1.b:
Amplitud: \( |a| = 1.5 \)
Un período: 4
Desplazamiento de fase: 1 unidad a la derecha = 1
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \sin(bx + c) \) para la gráfica en 1.b:
\( |a| = 1.5 \), por lo tanto \( a = \pm 1.5 \), sea \( a = 1.5 \)
Un período: \( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = \dfrac{\pi}{2} \)
Desplazamiento de fase: \( 1 = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = -b = -\dfrac{\pi}{2} \]
Ecuación de la gráfica 1.b: \[ y = 1.5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right) \]
c) Gráfica en 1.c:
Amplitud: \( |a| = 10 \)
1 división pequeña \( = \dfrac{\pi}{5} \), 1 período = 8 divisiones
Por lo tanto, 1 período \( = \dfrac{8\pi}{5} \)
Desplazamiento de fase = 2 divisiones \( = \dfrac{2\pi}{5} \)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \sin(bx + c) \) para la gráfica en 1.c:
\( |a| = 10 \), por lo tanto \( a = \pm 10 \), sea \( a = 10 \)
1 período \( = \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = \dfrac{5}{4} \)
Desplazamiento de fase \( = \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = -\dfrac{2\pi b}{5} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Ecuación de la gráfica 1.c: \[ y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right) \]
d) Gráfica en 1.d:
Amplitud: \( |a| = 3 \)
1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{12} \), 1 período = 16 divisiones
Por lo tanto 1 período = \( 16 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{3} \)
Desplazamiento de fase = 2 divisiones a la izquierda = \( -2 \times \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{6} \)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \sin(bx + c) \) para la gráfica en 1.d:
\( |a| = 3 \), por lo tanto \( a = \pm 3 \), sea \( a = 3 \)
1 período = \( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = \dfrac{3}{2} \)
Desplazamiento de fase = \( -\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \( c = \dfrac{\pi b}{6} = \dfrac{\pi}{4} \)
Ecuación de la gráfica 1.d: \[ y = 3 \sin\left( \dfrac{3x}{2} + \dfrac{\pi}{4} \right) \]
e) Gráfica en 1.e:
Amplitud: \( |a| = 2 \)
1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{12} \), 1 período = 8 divisiones
Por lo tanto 1 período = \( 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \)
Desplazamiento de fase = 1 división a la derecha = \( \dfrac{\pi}{12} \)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \sin(bx + c) \) para la gráfica en 1.e:
\( |a| = 2 \), por lo tanto \( a = \pm 2 \), sea \( a = 2 \)
1 período = \( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = 3 \)
Desplazamiento de fase = \( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \( c = -\dfrac{\pi b}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \)
Ecuación de la gráfica 1.e: \[ y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right) \]
Como ejercicio grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara su gráfica con la gráfica dada.
Encuentra la amplitud, el período y el desplazamiento de fase para las curvas en los Problemas 2.a, 2.b y 2.c, luego escribe la función en la forma \( y = a \cos(bx + c) \).
2.a
2.b
2.c
a) Gráfica en 2.a: Para una función de la forma \( y = a \cos(bx + c) \), la amplitud está dada por el valor máximo de la función. En la gráfica 2.a, tenemos:
Amplitud: \( |a| = 4 \)
Reproducimos la gráfica de 2.a abajo y anotamos lo siguiente:
Un período \( = \dfrac{3\pi}{2} \)
Desplazamiento de fase: Es el desplazamiento de las gráficas de \( y = a \cos(bx) \) a la gráfica de \( y = a \cos(bx + c) \) y se define por \[ -\dfrac{c}{b} \]
La gráfica de \( y = a \cos(bx) \) tiene un máximo en \( x = 0 \). En la gráfica de 2.a, el máximo está desplazado 3 divisiones pequeñas a la derecha.
1 división pequeña \( = \dfrac{\pi}{8} \)
Por lo tanto, desplazamiento de fase = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \cos(bx + c) \) que modele la gráfica en la imagen de arriba:
\( |a| = 4 \), por lo tanto \( a = \pm 4 \); sea \( a = 4 \)
1 período = \( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = \dfrac{4}{3} \)
Desplazamiento de fase = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = -b \times \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{\pi}{2} \]
Ecuación final de la curva dada en 2.a: \[ y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right) \]
b) Gráfica en 2.b:
Amplitud: \( |a| = 3 \)
Un período = 1 (longitud en el eje x de un ciclo)
Desplazamiento de fase = 1/2 (media unidad a la derecha)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \cos(bx + c) \) para la gráfica en 2.b:
\( |a| = 3 \), por lo tanto \( a = \pm 3 \), sea \( a = 3 \)
1 período = 1 = \( \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = 2\pi \)
Desplazamiento de fase = \( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = -\dfrac{b}{2} = -\pi \]
Ecuación final de la curva dada en 2.b: \[ y = 3 \cos(2\pi x - \pi) \]
c) Gráfica en 2.c:
Amplitud: \( |a| = 40 \)
1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{2} \div 4 = \dfrac{\pi}{8} \)
1 período = 8 divisiones
Por lo tanto 1 período = \( 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \)
Desplazamiento de fase = 3 divisiones (a la derecha) = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \)
Ahora escribimos una ecuación de la forma \( y = a \cos(bx + c) \) para la gráfica en 2.c:
\( |a| = 40 \), por lo tanto \( a = \pm 40 \), sea \( a = 40 \)
1 período = \( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \) (asumiendo \( b > 0 \)). Por lo tanto \( b = 2 \)
Desplazamiento de fase = \( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \)
Sustituye \( b \) por su valor para encontrar: \[ c = -\dfrac{3\pi b}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \]
Ecuación final de la curva dada en 2.c: \[ y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right) \]
Como ejercicio grafica cada una de las funciones encontradas arriba y compara su gráfica con la gráfica dada.
La gráfica de la función \( y = \sin(bx + c) \) tiene una intersección en x en \( x = \dfrac{6\pi}{5} \) y un máximo en \( x = \dfrac{11\pi}{5} \) como se muestra abajo.
a) ¿Cuál es el período de la función?
b) Encuentra b y c, y la ecuación de la gráfica.
a) El valor absoluto de la diferencia de las coordenadas \( x \) de los puntos \( \left( \dfrac{6\pi}{5}, 0 \right) \) y \( \left( \dfrac{11\pi}{5}, 1 \right) \) da un cuarto del período. Por lo tanto el período \( P \) es igual a: \[ P = 4\left( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} \right) = 4\pi \]
b) El período encontrado también está dado por \[ P = \dfrac{2\pi}{|b|} \] Toma \( b \) positivo y resuelve la ecuación \( \dfrac{2\pi}{b} = 4\pi \) para \( b \): \[ b = \dfrac{1}{2} \] El desplazamiento de fase de la gráfica dada arriba es igual a \( \dfrac{6\pi}{5} \) y también está dado por la fórmula \( -\dfrac{c}{b} \). Por lo tanto la ecuación: \[ -\dfrac{c}{b} = \dfrac{6\pi}{5} \] Resuelve para \( c \): \[ c = -\dfrac{6\pi b}{5} = -\dfrac{3\pi}{5} \] La ecuación de la gráfica está dada por: \[ y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right) \]