Encontrar funciones trigonométricas a partir de sus gráficas (Desfase)

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo de y es 2. Por lo tanto, \( |a| = 2 \). Usemos \( a = 2 \).

2. Periodo (\(b\)):
Observando la escala de la gráfica, 4 divisiones horizontales pequeñas equivalen a \( \pi \), por lo tanto, 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{4} \).
Un ciclo de onda completo abarca exactamente 16 divisiones pequeñas.
Periodo \( P = 16 \times \dfrac{\pi}{4} = 4\pi \).
Usando \( P = \dfrac{2\pi}{b} \), resolvemos: \( 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = \dfrac{1}{2} \).

3. Desfase (\(c\)):
Una onda sinusoidal estándar cruza el origen \( (0,0) \) dirigiéndose hacia arriba. Nuestra gráfica cruza el eje x dirigiéndose hacia arriba en 1 división pequeña a la izquierda del eje y.
Desfase = \( -\dfrac{\pi}{4} \) (desplazamiento a la izquierda).
La fórmula para el desfase es \( -\dfrac{c}{b} \). Sustituimos los valores conocidos:
\( -\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{c}{1/2} \implies c = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{8} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{\pi}{8} \right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo está a la mitad entre 1 y 2. Por lo tanto, \( |a| = 1.5 \). Sea \( a = 1.5 \).

2. Periodo (\(b\)):
Un ciclo completo (por ejemplo, de pico a pico) abarca exactamente 4 unidades en el eje x.
Periodo \( P = 4 \).
\( 4 = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4b = 2\pi \implies b = \dfrac{\pi}{2} \).

3. Desfase (\(c\)):
La gráfica cruza el eje x dirigiéndose hacia arriba en \( x = 1 \). Esto es un desplazamiento de 1 unidad a la derecha.
Desfase = \( 1 \).
\( 1 = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b \).
Sustituimos \( b \): \( c = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 1.5 \sin\left( \dfrac{\pi x}{2} - \dfrac{\pi}{2} \right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo de y es 10. \( |a| = 10 \). Sea \( a = 10 \).

2. Periodo (\(b\)):
5 divisiones pequeñas equivalen a \( \pi \), por lo tanto, 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{5} \).
Un periodo completo abarca 8 divisiones pequeñas.
Periodo \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{8\pi}{5} \).
\( \dfrac{8\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 8\pi b = 10\pi \implies b = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \).

3. Desfase (\(c\)):
La gráfica cruza el eje central dirigiéndose hacia arriba en 2 divisiones a la derecha del eje y.
Desfase = \( 2 \times \dfrac{\pi}{5} = \dfrac{2\pi}{5} \) (desplazamiento a la derecha).
\( \dfrac{2\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) \).
Sustituimos \( b \): \( c = -\left(\dfrac{5}{4}\right)\left(\dfrac{2\pi}{5}\right) = -\dfrac{2\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 10 \sin\left(\dfrac{5x}{4} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo es 2. \( |a| = 2 \). Sea \( a = 2 \).

2. Periodo (\(b\)):
12 divisiones pequeñas equivalen a \( \pi \), por lo tanto, 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{12} \).
Un periodo completo abarca 8 divisiones.
Periodo \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{12} = \dfrac{2\pi}{3} \).
\( \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies \mathbf{b = 3} \).

3. Desfase (\(c\)):
La gráfica comienza su cruce ascendente 1 división a la derecha.
Desfase = \( \dfrac{\pi}{12} \).
\( \dfrac{\pi}{12} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -3\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 2 \sin \left( 3x - \dfrac{\pi}{4} \right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo de y es 4. \( |a| = 4 \). Sea \( a = 4 \).

2. Periodo (\(b\)):
4 divisiones pequeñas equivalen a \( \dfrac{\pi}{2} \), por lo tanto, 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Un ciclo completo abarca 12 divisiones pequeñas.
Periodo \( P = 12 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{2} \).
\( \dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 3\pi b = 4\pi \implies b = \dfrac{4}{3} \).

3. Desfase (\(c\)):
Una función coseno estándar comienza en un máximo cuando \( x = 0 \). El máximo de nuestra gráfica está desplazado 3 divisiones pequeñas a la derecha.

Desfase = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Sustituimos \( b \): \( c = -\left(\dfrac{4}{3}\right)\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{12\pi}{24} = -\dfrac{\pi}{2} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 4 \cos\left(\dfrac{4x}{3} - \dfrac{\pi}{2}\right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo es 3. \( |a| = 3 \). Sea \( a = 3 \).

2. Periodo (\(b\)):
La longitud de un ciclo completo en el eje x es exactamente 1 unidad.
Periodo \( P = 1 \).
\( 1 = \dfrac{2\pi}{b} \implies b = 2\pi \).

3. Desfase (\(c\)):
El máximo está desplazado a la derecha en 0.5 unidades.
Desfase = \( \dfrac{1}{2} \).
\( \dfrac{1}{2} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -\dfrac{b}{2} \).
Sustituimos \( b \): \( c = -\dfrac{2\pi}{2} = -\pi \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 3 \cos(2\pi x - \pi)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
El valor máximo de y es 40. \( |a| = 40 \). Sea \( a = 40 \).

2. Periodo (\(b\)):
4 divisiones pequeñas equivalen a \( \dfrac{\pi}{2} \), por lo tanto, 1 división pequeña = \( \dfrac{\pi}{8} \).
Un periodo completo abarca 8 divisiones.
Periodo \( P = 8 \times \dfrac{\pi}{8} = \pi \).
\( \pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies \pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = 2} \).

3. Desfase (\(c\)):
El máximo está desplazado 3 divisiones a la derecha.
Desfase = \( 3 \times \dfrac{\pi}{8} = \dfrac{3\pi}{8} \).
\( \dfrac{3\pi}{8} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) \).
Sustituimos \( b = 2 \): \( c = -2\left(\dfrac{3\pi}{8}\right) = -\dfrac{6\pi}{8} = -\dfrac{3\pi}{4} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = 40 \cos\left(2x - \dfrac{3\pi}{4}\right)} \]

a) Encontrar el periodo:
Para una onda sinusoidal estándar, la distancia horizontal entre un intercepto x (donde cruza el eje dirigiéndose hacia arriba) y el máximo inmediatamente siguiente es exactamente un cuarto de un periodo completo.
Cuarto de periodo = \( \dfrac{11\pi}{5} - \dfrac{6\pi}{5} = \dfrac{5\pi}{5} = \pi \).
Por lo tanto, el periodo completo \( P = 4 \times \pi = \mathbf{4\pi} \).

b) Encontrar \(b\), \(c\) y la ecuación:
Usa la fórmula del periodo para encontrar \(b\):
\( P = \dfrac{2\pi}{|b|} \implies 4\pi = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 2\pi \implies \mathbf{b = \dfrac{1}{2}} \).

Encuentra el desfase \(c\):
El intercepto x con cruce hacia arriba representa el "inicio" del ciclo del seno. Esto ocurre en \( x = \dfrac{6\pi}{5} \), lo que es un desplazamiento hacia la derecha.
Desfase = \( \dfrac{6\pi}{5} \).
\( \dfrac{6\pi}{5} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) \).
Sustituimos \(b\): \( c = -\left(\dfrac{1}{2}\right)\left(\dfrac{6\pi}{5}\right) = \mathbf{-\dfrac{3\pi}{5}} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = \sin\left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{3\pi}{5} \right)} \]

1. Amplitud (\(a\)):
La amplitud es \( \dfrac{5 - (-5)}{2} = 5 \). Debido a que el problema exige \( a < 0 \), debemos usar una onda de coseno reflejada. Por lo tanto, \( a = -5 \).

2. Periodo (\(b\)):
La distancia horizontal entre un mínimo y el máximo siguiente es exactamente medio periodo.
Medio periodo = \( \dfrac{5\pi}{6} - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{4\pi}{6} = \dfrac{2\pi}{3} \).
Periodo completo \( P = 2 \times \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{4\pi}{3} \).
\( \dfrac{4\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{b} \implies 4\pi b = 6\pi \implies b = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} \).

3. Desfase (\(c\)):
Una onda de coseno reflejada \( (- \cos) \) comienza naturalmente en su mínimo. Dado que el mínimo de nuestra gráfica ocurre en \( x = \dfrac{\pi}{6} \), la gráfica se desplaza hacia la derecha por \( \dfrac{\pi}{6} \).
Desfase = \( \dfrac{\pi}{6} \).
\( \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{c}{b} \implies c = -b\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \).
Sustituimos \( b = \dfrac{3}{2} \): \( c = -\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4} \).

Conclusión:
\[ \mathbf{y = -5\cos\left(\dfrac{3}{2}x - \dfrac{\pi}{4}\right)} \]

1. Comprender la identidad co-función:
La función seno es simplemente la función coseno desplazada horizontalmente. Conocemos la identidad:
\( \sin(\theta) = \cos\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) \).

2. Sustituir el argumento:
Trata nuestra expresión interior completa \( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \) como \( \theta \).
\( y = 3\cos\left( \left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - \dfrac{\pi}{2} \right) \).

3. Simplificar el desfase:
Encuentra un denominador común para las constantes (que es 6).
\( -\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2} = -\dfrac{2\pi}{6} - \dfrac{3\pi}{6} = -\dfrac{5\pi}{6} \).

Conclusión:
La función coseno equivalente es:
\[ \mathbf{y = 3\cos\left(2x - \dfrac{5\pi}{6}\right)} \]

1. Relacionar el máximo con la función coseno:
La función \( y = 8\cos(\theta) \) alcanza su máximo cuando el argumento interno \( \theta \) es igual a \( 0, 2\pi, 4\pi, -2\pi \), etc.
Por lo tanto, en el punto máximo, podemos igualar el argumento interno a \( 2k\pi \):
\[ 4x + c = 2k\pi \]

2. Sustituir el valor de x conocido:
Sabemos que un máximo ocurre en \( x = \dfrac{\pi}{12} \):
\[ 4\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + c = 2k\pi \] \[ \dfrac{\pi}{3} + c = 2k\pi \] \[ c = 2k\pi - \dfrac{\pi}{3} \]

3. Encontrar valores positivos para \( c \):
Podemos probar valores enteros para \( k \) para encontrar resultados positivos para \( c \).
Si \( k = 0 \): \( c = - \dfrac{\pi}{3} \) (Negativo, descartar).
Si \( k = 1 \): \( c = 2\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{6\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{5\pi}{3}} \).
Si \( k = 2 \): \( c = 4\pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{12\pi}{3} - \dfrac{\pi}{3} = \mathbf{\dfrac{11\pi}{3}} \).

Conclusión:
Dos valores positivos posibles para \( c \) son \( \dfrac{5\pi}{3} \) y \( \dfrac{11\pi}{3} \). Ambos crean una ecuación válida que describe exactamente la misma gráfica.