Productos escalares y cruzados de vectores 3D

Los productos escalares y cruzados se definen y sus propiedades se discuten y se usan para resolver problemas.



Producto escalar de dos vectores

El producto escalar de dos vectores \( \vec{u} \) and \( \vec{v} \) es una cantidad escalar definida por:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = || \vec{u} || \, || \vec{v} || \cos \theta\)


dónde \( || \vec{u} || \) es la magnitud del vector \( \vec{u} \), \( || \vec{v} || \) es la magnitud del vector \( \vec{v} \) e \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \).

Si los componentes de vectores \( \vec{u} \) and \( \vec{v} \) son conocidos: \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) e \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \), se puede demostrar que el producto escalar se puede expresar de la siguiente manera:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_zv_z \)


Teoremas sobre productos escalares

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) son vectores y k es un escalar, luego

1) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)

2) \( \vec{u} \cdot (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)

3) \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u} ||^2 \)

4) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \; \) si y solo si \( \; \theta = \pi/2 \), si ambos \( \vec{u} \) and \( \vec{v} \) son vectores que no son cero.

5) \( (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) \)

6) \(|\vec{u} \cdot \vec{v} | \le ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \)

7) \(||\vec{u} + \vec{v} || \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \)


Ejemplo 1: Aproximar, al grado más cercano, el ángulo entre los vectores \(\vec{v}=<-2,3,1> \text{ y } \vec{u}= <0,-1,4>\).

Solución

Exprese el producto escalar de los dos vectores usando la magnitud y el ángulo \( \theta \) entre ellos y las coordenadas de la siguiente manera:

\(\vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v} || || \vec{u} || cos \theta = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = 1 \)

\( ||\vec{v} || = \sqrt{(-2)^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}\)

\( ||\vec{u} || = \sqrt{0^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{17} \)

\( cos\theta = \dfrac{1}{||\vec{v} || || \vec{u} ||} = \dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} \)

\( \theta = \arccos(\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} ) \approx 86^{\circ}\)

Más explicaciones para encontrar el ángulo entre vectores en un video.


Ejemplo 2: Encuentra \( a \) de forma que los vectores \( \lt a,-6,3 \gt \) e \( <1,0,-2> \) son perpendiculares.

Solución

Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero.

\( \lt a,-6,3 \gt \cdot <1,0,-2> = a(1) + (-6)(0)+(3)(-2) = a - 6 = 0 \)

Resuelve por un

\( a = 6\)


Proyección escalar y vectorial de un vector en otro

En muchas aplicaciones, es importante encontrar el componente de un vector en la dirección de otro vector. Como se muestra a continuación, el vector \( \vec{u}\) se proyecta sobre el vector \(\vec {v} \) al colocar una perpendicular desde el punto terminal de \(\vec {u} \) a la línea a través de \(\vec {v} \). El componente de \(\vec {u} \) a lo largo de \(\vec {v} \) es una cantidad escalar llamada proyección escalar y está dada por

\( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \)
.

La proyección de vector de \( \vec{u}\) en \( \vec{v}\) es una cantidad de vector obtenida al multiplicar el componente \( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} \) por el vector unitario en la dirección del vector \( \vec{v}\) y está dado por
\( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||v||^2} \vec{v}\)
.

proyección de vector en otro vector


Producto cruzado de dos vectores

El producto cruzado de dos vectores \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) e \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \) es una cantidad de vector definida por:

\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}u_x & u_z\\ v_x & v_z\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{vmatrix}} \vec{k}\)


El producto cruzado \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular a ambos \( \vec{v} \) e \( \vec{u} \)

producto cruzado de dos vectores



La regla de la mano derecha, para encontrar la dirección del producto cruzado, es la siguiente: apunte el índice en la dirección de \( \vec {u} \), el dedo medio en la dirección de \( \vec{v} \) y la dirección del producto cruzado \( \vec {u} \times \vec {v} \) está en la misma dirección que la del pulgar

regla de la mano derecha




Teoremas sobre productos cruzados

Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) e \( \vec{w} \) son vectores y k es un escalar, luego

1) El producto cruzado \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular a ambos \( \vec{v} \) e \( \vec{u} \)

2) \( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \)

3) \( \vec{u} \times \vec{v} = 0 \) si y solo si \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) son paralelos , si ambos \( \vec{u} \) e \( \vec{v} \) son vectores no cero.

4) \( \vec{u} \times (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{w} \)

5) \( (k \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \times \vec{v} ) \)

6) \( ||\vec{u} \times \vec{v} || = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| sin \theta\) , dónde \( \theta \) es el ángulo entre \( \vec{u}\) e \( \vec{v} \).


Área de un Paralelogramo

Un paralelogramo es un cuadrilátero (4 lados) con lados opuestos paralelos. En la figura a continuación se muestra el paralelogramo A, B, C y D. Por lo tanto, tenemos igualdad entre los vectores.

\( \vec{AB} = \vec{DC} \) e \( \vec{AD} = \vec{BC} \)

El área del paralelogramo está dada por \( || \vec{AB} \times \vec{AD} || \)

definición de paralelogramo y la fórmula de su área



El área de un triángulo puede calcularse como la mitad del área del paralelogramo correspondiente.


Volumen de un paralelepípedo

Un paralelepípedo es una figura 3d formada por 6 paralelogramos como se muestra en la figura a continuación. Tenemos igualdad entre varios vectores.

\( \vec{AE} = \vec{DH} = \vec{CG} = \vec{BF} = \vec{u} \)

\( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{v}\)

\( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{w}\)

El volumen V del paralelepípedo está dado por

V \( = |\vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = | \vec{v}\cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = | \vec{w}\cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \)

definición de paralelepípedo y la fórmula de su volumen


Ejemplo 3: Calcule el producto cruzado de los vectores \(\vec{u} = <1,1,3>\) e \(\vec{v} = <1,0,2>\).

Un video sobre cómo encontrar el Producto cruzado de dos vectores con explicaciones detalladas.

Solución

\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1& 0\end{vmatrix}} \vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} -\vec{k} \)



Ejemplo 4: Encuentra dos vectores unitarios perpendiculares a los vectores \( \vec{u} = \lt 1,-2,1 \gt \) e \( \vec{v} = <-2,0,4> \).

Solución

El producto cruzado \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \; \text{ e } \; \vec{v} \).

Vamos a calcular \( \vec{u} \times \vec{v} \) como sigue:

\( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & -2\\ -2 & 0\end{vmatrix}} \vec{k} = -8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k} \)


Ahora necesitamos encontrar un vector unitario \( \vec{u_1} \) en la misma dirección que \( \vec{w} \) y es dado por

\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{||\vec{w}||} \vec{w}\)

y un segundo vector unitario \( \vec{u_2} \) en la dirección opuesta a \( \vec{w} \) y es dado por

\( \vec{u_2} = -\vec{u_1}\)

\( ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2+(- 6)^2+(- 4)^2 } = 2\sqrt{29}\)

\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{29}} (-8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k}) = -\dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} -\dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}-\dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)

\( \vec{u_2} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} + \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}+ \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)


Ejemplo 5: Explica por qué las siguientes afirmaciones no son ciertas.

a) \( \vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)

b) \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} )= (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w} \)

Solución

a) El lado izquierdo \( \vec{u} \times \vec{u} \) es un producto cruzado y el resultado es un vector. El lado derecho \( ||\vec{u}||^2\) es una cantidad escalar. Un vector y un escalar no se pueden comparar.

b) El lado izquierdo \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} ) \) es un producto escalar de \( \vec{u} \) e \( (\vec{u} \times \vec{w} ) \) y el resultado es un escalar. El lado derecho es el producto de una cantidad escalar \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) y vector \( \vec{w} \) y el resultado es un vector. Un escalar y un vector no se pueden comparar.


Responde las siguientes preguntas.


Detallado Soluciones y explicaciones a estas preguntas.

1) Calcular \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) Dado que \( \vec{u} = \lt a,b,c \gt \) e \( \vec{v} = \lt d,e,f \gt \).

2) Encontrar \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -2,-k,1 \gt \) e \( \vec{v} = <8,-2,-3> \) son perpendiculares.

3)Encuentra \(k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -3,2,-2 \gt \), \( \vec{v} = <2,1,k> \) e \( \vec{w} = <-1,3,-5> \) están en el mismo plano (o coplanar)?

4) Encuentre el ángulo \(\theta \) entre los vectores \( \vec{u} = \lt 2,0,1 \gt \) e \( \vec{v} = <8,-2,-3> \).

5) Encuentre la proyección vectorial de \( \vec{u} = \lt -1,-1,1 \gt \) sobre \( \vec{v} = <2,1,1> \).

6) Encuentre que \(k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) son los vértices de un triángulo rectángulo con un ángulo recto en \(A \).

7) Vector dado \( \vec{v} = \lt 3,-1,-2 \gt \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = <4,2,5> \) e \( ||\vec{u}|| = 3\))

8) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo.

paralelogramo en 3d



      a) Encuentra las coordenadas del punto D.

      b) Encuentra el área del paralelogramo.

9) En el cubo a continuación, encuentre el ángulo entre las diagonales AG y BH.

cubo



10) Encuentre un vector que sea ortogonal al plano que contiene los puntos A(1,2,-3), B(0,-2,1) e C(-2,0,1).

11) Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,0,-3), B(1,-2,0) e C(0,2,1).

12)Encuentra el volumen del paralelepípedo que se muestra a continuación.

volumen de paralelepípedo definido por puntos



Detailed Soluciones y explicaciones a las preguntas anteriores.

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