Producto Escalar y Cruz de Vectores 3D
El producto escalar (o producto punto) y el producto cruz de vectores 3D se definen y sus propiedades se discuten y se utilizan para resolver problemas en 3D.
Producto Escalar (o producto punto) de Dos Vectores
El producto escalar (o producto punto) de dos vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) es una cantidad escalar definida por:
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = || \vec{u} || \, || \vec{v} || \cos \theta\)
donde \( || \vec{u} || \) es la magnitud del vector \( \vec{u} \), \( || \vec{v} || \) es la magnitud del vector \( \vec{v} \) y \( \theta \) es el ángulo entre los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \).
Si se conocen las componentes de los vectores \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \): \( \vec{u} = (u_x , u_y ,u_z)\) y \( \vec{v} = (v_x , v_y , v_z) \), se puede demostrar que el producto escalar se puede expresar de la siguiente manera:
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \)
Teoremas sobre Productos Escalares
Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces
1) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} \)
2) \( \vec{u} \cdot (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} \)
3) \( \vec{u} \cdot \vec{u} = ||\vec{u} ||^2 \)
4) \( \vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \; \) si y solo si \( \; \theta = \pi/2 \), si tanto \( \vec{u} \) como \( \vec{v} \) son vectores distintos de cero.
5) \( (k \vec{u}) \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \cdot \vec{v} ) \)
6) \(|\vec{u} \cdot \vec{v} | \le ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \)
7) \(||\vec{u} + \vec{v} || \le ||\vec{u}|| + ||\vec{v}|| \)
Ejemplo 1
Aproxima, al grado más cercano, el ángulo entre los vectores \( \vec{v} = \lt -2,3,1> \text{y} \; \vec{u} = \lt 0,-1,4>\).
solución
Expresa el producto escalar de los dos vectores utilizando la magnitud y el ángulo \( \theta \) entre ellos y las coordenadas de la siguiente manera:
\( \vec{v} \cdot \vec{u} = ||\vec{v} || || \vec{u} || \cos \theta = (-2)(0) + (3)(-1) + (1)(4) = 1 \)
\( ||\vec{v} || = \sqrt{(-2)^2+3^2+1^2} = \sqrt{14}\)
\( ||\vec{u} || = \sqrt{0^2+(-1)^2+4^2} = \sqrt{17} \)
\( \cos\theta = \dfrac{1}{||\vec{v} || || \vec{u} ||} = \dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} \)
\( \theta = \arccos(\dfrac{1}{\sqrt{14}\sqrt{17}} ) \approx 86^{\circ}\)
Más explicaciones sobre cómo encontrar el ángulo entre vectores en un video.
Ejemplo 2
Encuentra \( a \) para que los vectores \( \lt a,-6,3 \gt \) y \( \lt 1,0,-2> \) sean perpendiculares.
solución
Para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero.
\( \lt a,-6,3 \gt \cdot \lt 1,0,-2> = a(1) + (-6)(0)+(3)(-2) = a - 6 = 0 \)
Resuelve para \( a \)
\( a = 6\)
Proyección Escalar y Vectorial de un Vector sobre Otro
En muchas aplicaciones, es importante encontrar el componente de un vector en la dirección de otro vector. Como se muestra a continuación, el vector \( \vec{u}\) se proyecta sobre el vector \( \vec{v}\) dejando caer una perpendicular desde el punto terminal de \( \vec{u}\) hasta la línea a través de \( \vec{v}\). El componente de \( \vec{u}\) a lo largo de \( \vec{v}\) es una cantidad escalar llamada proyección escalar y se da por
\( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \) .
La proyección vectorial de \( \vec{u}\) en \( \vec{v}\) es una cantidad vectorial obtenida multiplicando el componente \( \text{comp}_{\vec{v}}\vec{u} \) por el vector unitario en la dirección del vector \( \vec{v}\) y se da por
\( \text{proj}_{\vec{v}}\vec{u} = ||\vec{u}|| \cos \theta \dfrac{\vec{v}}{||\vec{v}||} = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{||v||^2} \vec{v}\) .
Producto Cruz (o vectorial) de Dos Vectores
El producto cruz (o producto vectorial) de dos vectores \( \vec{u} = (u_x, u_y, u_z)\) y \( \vec{v} = (v_x, v_y, v_z) \) es una cantidad vectorial definida por:
\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}u_x & u_z\\ v_x & v_z\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}u_x & u_y\\ v_x & v_y\end{vmatrix}} \vec{k}\)
El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \)
La regla de la mano derecha, para encontrar la dirección del producto cruz, es la siguiente: apunta el índice en la dirección de \( \vec{u} \), el dedo medio en la dirección de \( \vec{v} \) y la dirección del producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es en la misma dirección que el pulgar.
Teoremas sobre Productos Cruz
Si \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) y \( \vec{w} \) son vectores y \( k \) es un escalar, entonces
1) El producto cruz \( \vec{u} \times \vec{v} \) es perpendicular tanto a \( \vec{v} \) como a \( \vec{u} \)
2) \( \vec{u} \times \vec{v} = - \vec{v} \times \vec{u} \)
3) \( \vec{u} \times \vec{v} = 0 \) si y solo si \( \vec{u} \) y \( \vec{v} \) son paralelos, si tanto \( \vec{u} \) como \( \vec{v} \) son vectores distintos de cero.
4) \( \vec{u} \times (\ \vec{v} + \vec{w} ) = \vec{v} \times \vec{u} + \vec{u} \times \vec{w} \)
5) \( (k \vec{u}) \times \vec{v} = \vec{u} \times ( k\vec{v}) = k ( \vec{u} \times \vec{v} ) \)
6) \( ||\vec{u} \times \vec{v} || = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| \sin \theta\) , donde \( \theta \) es el ángulo entre \( \vec{u}\) y \( \vec{v} \).
Área de un Paralelogramo
Un paralelogramo es un cuadrilátero (4 lados) con lados opuestos paralelos. En la figura a continuación se muestra el paralelogramo A, B, C y D. Por lo tanto, tenemos igualdad entre los vectores.
\( \vec{AB} = \vec{DC} \) y \( \vec{AD} = \vec{BC} \)
El área del paralelogramo se da por \( || \vec{AB} \times \vec{AD} || \)
El área de un triángulo se puede calcular como la mitad del área del paralelogramo correspondiente.
Volumen de un Paralelepípedo
Un paralelepípedo es una figura tridimensional formada por 6 paralelogramos como se muestra en la figura a continuación. Tenemos igualdad entre varios vectores.
\( \vec{AE} = \vec{DH} = \vec{CG} = \vec{BF} = \vec{u} \)
\( \vec{AD} = \vec{BC} = \vec{EH} = \vec{FG} = \vec{v}\)
\( \vec{AB} = \vec{DC} = \vec{EF} = \vec{HG} = \vec{w}\)
El volumen V del paralelepípedo se da por
V \( = |\vec{u}\cdot (\vec{v} \times \vec{w})| = | \vec{v}\cdot (\vec{w} \times \vec{u})| = | \vec{w}\cdot (\vec{v} \times \vec{u})| \)
Ejemplo 3
Calcule el producto cruz de los vectores \( \vec{u} = \lt 1,1,3 \gt\) y \( \vec{v} = \lt 1,0,2 \gt\).
Un video sobre cómo encontrar el Producto Cruz de Dos Vectores con explicaciones detalladas.
Solución
\( \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 3\\ 1 & 2\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & 1\\ 1& 0\end{vmatrix}} \vec{k} = 2\vec{i} + \vec{j} -\vec{k} \)
Ejemplo 4
Encuentre dos vectores unitarios perpendiculares a los vectores \( \vec{u} = \lt 1,-2,1 \gt\) y \( \vec{v} = \lt -2,0,4> \).
Solución
El producto cruz \( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} \) es un vector perpendicular a ambos vectores \( \vec{u} \; \text{y} \; \vec{v} \).
Calculemos \( \vec{u} \times \vec{v} \) de la siguiente manera:
\( \vec{w} = \vec{u} \times \vec{v} = {\begin{vmatrix}\vec{i}& \vec{j} &\vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ -2 & 0 & 4 \end{vmatrix}} = {\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 0 & 4 \end{vmatrix}} \vec{i} - {\begin{vmatrix}1 & 1\\ -2 & 4\end{vmatrix}} \vec{j} + {\begin{vmatrix}1 & -2\\ -2 & 0\end{vmatrix}} \vec{k} = -8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k} \)
Ahora necesitamos encontrar un vector unitario \( \vec{u_1} \) en la misma dirección que \( \vec{w} \) y se da por
\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{||\vec{w}||} \vec{w}\)
y un segundo vector unitario \( \vec{u_2} \) en la dirección opuesta a \( \vec{w} \) y se da por
\( \vec{u_2} = -\vec{u_1}\)
\( ||\vec{w}|| = \sqrt{(-8)^2+(- 6)^2+(- 4)^2 } = 2\sqrt{29}\)
\( \vec{u_1} = \dfrac{1}{2\sqrt{29}} (-8\vec{i} - 6 \vec{j} - 4 \vec{k}) = -\dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} -\dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}-\dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)
\( \vec{u_2} = \dfrac{4}{\sqrt{29}}\vec{i} + \dfrac{3}{\sqrt{29}}\vec{j}+ \dfrac{2}{\sqrt{29}}\vec{k}\)
Ejemplo 5
Explique por qué las siguientes afirmaciones no son verdaderas.
a) \( \vec{u} \times \vec{u} = ||\vec{u}||^2\)
b) \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} )= (\vec{u} \cdot \vec{u}) \times \vec{w} \)
Solución
a) El lado izquierdo \( \vec{u} \times \vec{u} \) es un producto cruz y el resultado es un vector. El lado derecho \( ||\vec{u}||^2\) es una cantidad escalar. Un vector y un escalar no se pueden comparar.
b) El lado izquierdo \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{w} ) \) es un producto escalar de \( \vec{u} \) y \( (\vec{u} \times \vec{w} ) \) y el resultado es un escalar. El lado derecho es el producto de una cantidad escalar \( \vec{u} \cdot \vec{u} \) y el vector \( \vec{w} \) y el resultado es un vector. Un escalar y un vector no se pueden comparar.
Responde las siguientes preguntas
Solutions y explicaciones detalladas aquí.
1) Calcule \( \vec{u} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) \) dado que \( \vec{u} = \lt a,b,c \gt \) y \( \vec{v} = \lt d,e,f \gt \).
2) Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -2,-k,1 \gt \) y \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \) sean perpendiculares.
3) Encuentra \( k \) para que los vectores \( \vec{u} = \lt -3,2,-2 \gt \), \( \vec{v} = \lt 2,1,k> \) y \( \vec{w} = \lt -1,3,-5> \) estén en el mismo plano (o coplanares).
4) Encuentra el ángulo \( \theta \) entre los vectores \( \vec{u} = \lt 2,0,1 \gt \) y \( \vec{v} = \lt 8,-2,-3 > \).
5) Encuentra la proyección vectorial de \( \vec{u} = \lt -1,-1,1 \gt \) en \( \vec{v} = \lt 2,1,1 > \).
6) Encuentra \( k \) para que los puntos \( A(-1,2,k) \), \( B(-3,6,3) \) y \( C(1,3,6) \) sean los vértices de un triángulo rectángulo con un ángulo recto en \( A \).
7) Dado el vector \( \vec{v} = \lt 3,-1,-2 \gt \), encuentra el vector \( \vec{u} \) tal que \( \vec{v} \times \vec{u} = \lt 4,2,5 > \) y \( ||\vec{u}|| = 3\))
8) Los puntos A, B, C y D forman un paralelogramo.
a) Encuentra las coordenadas del punto D.
b) Encuentra el área del paralelogramo.
9) En el cubo de abajo, encuentra el ángulo entre las diagonales AG y BH.
10) Encuentra un vector que sea ortogonal al plano que contiene los puntos A(1,2,-3), B(0,-2,1) y C(-2,0,1).
11) Encuentra el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1,0,-3), B(1,-2,0) y C(0,2,1).
12) Encuentra el volumen del paralelepípedo mostrado abajo.
Solutions y explicaciones detalladas aquí.
Más Referencias y Enlaces
Producto Cruz de Vectores 3D
Producto Cruz de Dos Vectores - Calculadora
Producto Punto de Dos Vectores y Aplicaciones
Matemáticas de Escuela Intermedia (Grados 6, 7, 8, 9) - Preguntas y Problemas Gratuitos con Respuestas
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