Graficar funciones seno y coseno

Esboza la gráfica de $y = 2 \cos(x) + 1$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|2| = 2$
• Período: $2\pi$
• Desplazamiento vertical: $1$ (1 unidad hacia arriba)
• Desplazamiento horizontal: $0$

Tres pasos para graficar la función $y = 2 \cos(x) + 1$:

1) Comenzamos bosquejando $y = \cos(x)$ usando los valores de $x$ e $y$ del círculo unitario (gráfica azul a continuación).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} $$

2) Luego bosquejamos $y = 2 \cos(x)$ estirando $y = \cos(x)$ por un factor de 2 (gráfica verde a continuación).

3) Finalmente, bosquejamos $y = 2 \cos(x) + 1$ desplazando 1 unidad hacia arriba (gráfica roja a continuación).

Esboza la gráfica de $y = - 2 \sin(x) - 1$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|-2| = 2$
• Período: $2\pi$
• Desplazamiento vertical: $-1$ (1 unidad hacia abajo)
• Desplazamiento horizontal: $0$

Tres pasos para graficar la función $y = - 2 \sin(x) - 1$:

1) Comenzamos bosquejando $y = \sin(x)$ usando los valores de $x$ e $y$ del círculo unitario (gráfica azul a continuación).

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

2) Luego bosquejamos $y = - 2 \sin(x)$ estirando $y = \sin(x)$ por un factor de 2 y reflejándola en el eje x (gráfica verde a continuación).

3) Finalmente, bosquejamos $y = - 2 \sin(x) - 1$ desplazando 1 unidad hacia abajo (gráfica roja a continuación).

Esboza la gráfica de $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|3| = 3$
• Período: $\dfrac{2\pi}{2} = \pi$
• Desplazamiento vertical: $-1$ (1 unidad hacia abajo)

Desplazamiento horizontal: Debido al término $\dfrac{\pi}{3}$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como:
$$ y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 $$
y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a $\dfrac{\pi}{6}$ hacia la izquierda.

Tres pasos para graficar la función $y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1$:

1) Comenzamos bosquejando $3 \cos(2x)$ con valores mínimos y máximos de -3 y +3 en un período $= \pi$ (gráfica azul a continuación).

2) Luego bosquejamos $y = 3 \cos(2x) - 1$ trasladando la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde a continuación).

3) Ahora desplazamos la gráfica anterior $\dfrac{\pi}{6}$ hacia la izquierda (gráfica roja a continuación) para que el período bosquejado comience en $-\dfrac{\pi}{6}$ y termine en $-\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6}$, lo que es un período $= \pi$.

Esboza la gráfica de $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|-0.2| = 0.2$
• Período: $\dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi$
• Desplazamiento vertical: $0.1$ (0.1 unidades hacia arriba)

Desplazamiento horizontal: Debido al término $- \dfrac{\pi}{6}$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como:
$$ y = -0.2 \sin\left( 0.5\left(x - \dfrac{\pi}{3}\right) \right) + 0.1 $$
y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a $\dfrac{\pi}{3}$ hacia la derecha.

Tres pasos para graficar la función $y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1$:

1) Comenzamos bosquejando $y = -0.2 \sin(0.5x)$ con valores mínimos y máximos de $-0.2$ y $0.2$ en un período $= 4\pi$ (gráfica azul a continuación).

2) Luego bosquejamos $y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1$ trasladando la gráfica anterior 0.1 unidades hacia arriba (gráfica verde a continuación).

3) Luego desplazamos la gráfica anterior $\dfrac{\pi}{3}$ hacia la derecha (gráfica roja a continuación) para que el período bosquejado comience en $\dfrac{\pi}{3}$ y termine en $\dfrac{\pi}{3} + 4\pi$, lo que es un período $= 4\pi$.

Esboza la gráfica de $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|2| = 2$
• Período: $\dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ$
• Desplazamiento vertical: $-2$ (2 unidades hacia abajo)

Desplazamiento horizontal: Debido al término $-60^\circ$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como:
$$ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 $$
y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a $30^\circ$ hacia la derecha.

Tres pasos para graficar la función $y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2$:

1) Comenzamos bosquejando $y = 2 \cos(2x)$ con valores mínimos y máximos de $-2$ y $+2$ en un período $= 180^\circ$ (gráfica azul a continuación).

2) Luego bosquejamos $y = 2 \cos(2x) - 2$ trasladando la gráfica anterior 2 unidades hacia abajo (gráfica verde a continuación).

3) Finalmente, desplazamos la gráfica anterior $30^\circ$ hacia la derecha (gráfica roja a continuación) para que el período bosquejado comience en $30^\circ$ y termine en $30^\circ + 180^\circ = 210^\circ$, lo que es un período $= 180^\circ$.

Esboza la gráfica de $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

• Amplitud: $|-2| = 2$
• Período: $\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi$
• Desplazamiento vertical: $-1$ (1 unidad hacia abajo)

Desplazamiento horizontal: Debido al término $\dfrac{\pi}{3}$, la gráfica está desplazada horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como:
$$ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 $$
y ahora podemos escribir el desplazamiento como igual a $\pi$ hacia la izquierda.

Tres pasos para graficar la función $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1$:

1) Comenzamos bosquejando $-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)$ con valores mínimos y máximos de $-2$ y $+2$ en un período $= 6\pi$ (gráfica azul a continuación).

2) Luego bosquejamos $y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1$ trasladando la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde a continuación).

3) Luego desplazamos la gráfica anterior $\pi$ hacia la izquierda (gráfica roja a continuación) para que el período bosquejado comience en $-\pi$ y termine en $5\pi$, lo que es un período $= 6\pi$.