Aprende a bosquejar las funciones seno y coseno de las formas generales: \[ y = a \sin\bigl(k (x - d)\bigr) + c \quad \text{y} \quad y = a \cos\bigl(k (x - d)\bigr) + c \] con explicaciones claras, ejemplos paso a paso y soluciones detalladas. Esta introducción cubre conceptos clave como amplitud, periodo, desplazamiento de fase y traslación vertical para ayudarte a dominar la graficación de funciones trigonométricas.
Amplitud = \( |a| \)
Periodo = \( \dfrac{2\pi}{|k|} \)
Desplazamiento horizontal (traslación) = \( d \), hacia la izquierda si \(-d\) es positivo y hacia la derecha si \(-d\) es negativo.
Desplazamiento vertical (traslación) = \( c \), hacia arriba si \(c\) es positivo y hacia abajo si \(c\) es negativo.
Para bosquejar funciones seno y coseno transformadas, necesitamos saber cómo bosquejar las funciones seno y coseno básicas. El círculo unitario (radio = 1) proporciona los valores de \(\sin(x)\) y \(\cos(x)\) en 5 puntos clave que pueden usarse para graficar funciones seno y coseno más complejas. Las coordenadas de cualquier punto en el círculo unitario dan el coseno y el seno del ángulo en posición estándar correspondiente a ese punto.
El ángulo en posición estándar \(x = 0\) corresponde al punto: \[ (1, 0) = (\cos(0), \sin(0)) \]
El ángulo en posición estándar \(x = \pi/2\) (o 90°) corresponde al punto: \[ (0, 1) = (\cos(\pi/2), \sin(\pi/2)) \]
El ángulo en posición estándar \(x = \pi\) (o 180°) corresponde al punto: \[ (-1, 0) = (\cos(\pi), \sin(\pi)) \]
El ángulo en posición estándar \(x = 3\pi/2\) (o 270°) corresponde al punto: \[ (0, -1) = (\cos(3\pi/2), \sin(3\pi/2)) \]
El ángulo en posición estándar \(x = 2\pi\) (o 360°) corresponde al punto: \[ (1, 0) = (\cos(2\pi), \sin(2\pi)) \] como se muestra a continuación.
Bosqueja la gráfica de \[ y = 2 \cos(x) + 1 \] en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \( |2| = 2 \)
Periodo = \( 2\pi \)
Desplazamiento vertical (traslación) = \( 1 \), hacia arriba 1 unidad.
Desplazamiento horizontal (traslación) = \( 0 \)
Tres pasos para graficar la función \( y = 2 \cos(x) + 1 \)
1) Comenzamos bosquejando \[ y = \cos(x) \] usando los valores de \( x \) y \( y \) del círculo unitario (gráfica azul abajo).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 1 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ \hline \end{array} \]2) Luego bosquejamos \( y = 2 \cos(x) \) estirando \( y = \cos(x) \) por un factor de 2 (gráfica verde abajo).
3) Y finalmente \( y = 2 \cos(x) + 1 \) desplazando hacia arriba 1 unidad (gráfica roja abajo).
Bosqueja la gráfica de \[ y = -2 \sin(x) - 1 \] en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \( |-2| = 2 \)
Periodo = \( 2\pi \)
Desplazamiento vertical (traslación) = \( -1 \), hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal (traslación) = \( 0 \)
Tres pasos para graficar la función \( y = -2 \sin(x) - 1 \)
1) Comenzamos bosquejando \( y = \sin(x) \) usando los valores de \( x \) y \( y \) del círculo unitario (gráfica azul abajo).
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \\ \hline y & 0 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ \hline \end{array} \]2) Luego bosquejamos \( y = -2 \sin(x) \) estirando \( y = \sin(x) \) por un factor de 2 y reflejándola en el eje x (gráfica verde abajo).
3) Y finalmente bosquejamos \( y = -2 \sin(x) - 1 \) desplazando hacia abajo 1 unidad (gráfica roja abajo).
Bosqueja la gráfica de \( y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1 \) en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \( |3| = 3 \)
Periodo = \( \dfrac{2\pi}{2} = \pi \)
Desplazamiento vertical (traslación) = \( -1 \), hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término \( \dfrac{\pi}{3} \), la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: \( y = 3 \cos\left[ 2\left( x + \dfrac{\pi}{6} \right) \right] - 1 \) y ahora podemos escribir el desplazamiento como \( \dfrac{\pi}{6} \) hacia la izquierda.
Tres pasos para graficar la función \( y = 3 \cos(2x + \dfrac{\pi}{3}) - 1 \)
1) Comenzamos bosquejando \( 3 \cos(2x) \) con valores mínimo y máximo -3 y +3 en un periodo \( = \pi \) (gráfica azul abajo).
2) Luego bosquejamos \( y = 3 \cos(2x) - 1 \) trasladando la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde abajo).
3) Ahora desplazamos la gráfica anterior \( \dfrac{\pi}{6} \) hacia la izquierda (gráfica roja abajo) de modo que el periodo bosquejado comience en \( -\dfrac{\pi}{6} \) y termine en \( -\dfrac{\pi}{6} + \pi = \dfrac{5\pi}{6} \), que es un periodo \( = \pi \).
Bosqueja la gráfica de \[ y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1 \] en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \( | -0.2 | = 0.2 \)
Periodo = \( \dfrac{2\pi}{0.5} = 4\pi \)
Desplazamiento vertical (traslación) = 0.1, hacia arriba 0.1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término \(- \dfrac{\pi}{6}\), la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: \[ y = -0.2 \sin\left( 0.5(x - \dfrac{\pi}{3}) \right) + 0.1 \] y ahora podemos escribir el desplazamiento como \( \dfrac{\pi}{3} \) hacia la derecha.
Tres pasos para graficar la función \( y = -0.2 \sin\left(0.5x - \dfrac{\pi}{6} \right) + 0.1 \)
1) Comenzamos bosquejando \[ y = -0.2 \sin(0.5x) \] con valores mínimo y máximo \(-0.2\) y \(0.2\) en un periodo \[ = 4\pi \] (gráfica azul abajo).
2) Luego bosquejamos \[ y = -0.2 \sin(0.5x) + 0.1 \] trasladando la gráfica anterior 0.1 unidad hacia arriba (gráfica verde abajo).
3) Luego desplazamos la gráfica anterior \( \dfrac{\pi}{3} \) hacia la derecha (gráfica roja abajo) de modo que el periodo bosquejado comience en \( \dfrac{\pi}{3} \) y termine en \( \dfrac{\pi}{3} + 4\pi \), que es un periodo \[ = 4\pi \].
Bosqueja la gráfica de \[ y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2 \] en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \( \left| 2 \right| = 2 \)
Desplazamiento vertical (traslación) = \( -2 \), hacia abajo 2 unidades.
Periodo = \( \dfrac{360^\circ}{2} = 180^\circ \)
Desplazamiento horizontal: Debido al término \(-60^\circ\), la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como \[ y = 2 \cos\left[ 2 \left( x - 30^\circ \right) \right] - 2 \] y ahora podemos escribir el desplazamiento como \(30^\circ\) hacia la derecha.
Tres pasos para graficar la función \( y = 2 \cos(2x - 60^\circ) - 2 \)
1) Comenzamos bosquejando \[ y = 2 \cos(2x) \] con valores mínimo y máximo \(-2\) y \(+2\) en un periodo \(= 180^\circ\) (gráfica azul abajo).
2) Luego bosquejamos \[ y = 2 \cos(2x) - 2 \] trasladando la gráfica anterior 2 unidades hacia abajo (gráfica verde abajo).
3) Finalmente, desplazamos la gráfica anterior \(30^\circ\) hacia la derecha (gráfica roja abajo) de modo que el periodo bosquejado comience en \(30^\circ\) y termine en \[ 30^\circ + 180^\circ = 210^\circ \] que es un periodo \(= 180^\circ\).
Bosqueja la gráfica de \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1 \] en un periodo.
Parámetros de graficación
Amplitud = \(|-2| = 2\)
Periodo = \(\dfrac{2\pi}{\dfrac{1}{3}} = 6\pi\)
Desplazamiento vertical (traslación) = \(-1\), hacia abajo 1 unidad.
Desplazamiento horizontal: Debido al término \(\dfrac{\pi}{3}\), la gráfica se desplaza horizontalmente. Primero reescribimos la función dada como: \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{1}{3}(x + \pi)\right) - 1 \] y ahora podemos escribir el desplazamiento como \(\pi\) hacia la izquierda.
Tres pasos para graficar la función \( y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{3}\right) - 1 \)
1) Comenzamos bosquejando \(-2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right)\) con valores mínimo y máximo \(-2\) y \(+2\) en un periodo \(= 6 \pi\) (gráfica azul abajo).
2) Luego bosquejamos \[ y = -2 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 1 \] trasladando la gráfica anterior 1 unidad hacia abajo (gráfica verde abajo).
3) Luego desplazamos la gráfica anterior \(\pi\) hacia la izquierda (gráfica roja abajo) de modo que el periodo bosquejado comience en \(-\pi\) y termine en \(5\pi\), que es un periodo \(= 6\pi\).
