¿Cuál es el periodo de la función $y = \tan(2x + \frac{\pi}{2})$?

El periodo es $\frac{\pi}{2}$. Para las funciones tangente y cotangente, el periodo base es $\pi$, por lo que la fórmula es $\frac{\pi}{|k|}$.

¿Dónde ocurren las asíntotas verticales para la función base $y = \cot(x)$?

Las asíntotas verticales para $y = \cot(x)$ ocurren en $x = k\pi$, donde $k$ es un entero. Esto es porque $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, y $\sin(x) = 0$ en $k\pi$.

¿Cómo encuentras las asíntotas verticales de una función tangente?

Debido a que $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$, las asíntotas verticales ocurren dondequiera que el denominador, $\cos(x)$, sea igual a cero. Para la función base, esto está en $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$. Para funciones transformadas, iguala el interior de la función tangente a $\frac{\pi}{2} + k\pi$ y resuelve para $x$.

¿Cuál es el rango de las funciones tangente y cotangente?

A diferencia del seno y el coseno, que están acotados, el rango tanto de las funciones tangente como cotangente es todos los números reales: $(-\infty, \infty)$.

Cómo graficar funciones tangente y cotangente

Esta página explica el bosquejo y graficación de las funciones tangente y cotangente de la forma:

$$ y = a \tan \big[ k ( x - d) \big] \quad \text{y} \quad y = a \cot \big[ k ( x - d) \big] $$

Se proporcionan ejemplos detallados a continuación para ayudar a los estudiantes a comprender su comportamiento, asíntotas y transformaciones de gráficos.

Parámetros de graficación de $y = \tan(x)$ e $y = \cot(x)$

Rango: $ (- \infty , +\infty) $

Periodo: $ \pi $ (Nota: Esto es diferente del seno/coseno que tienen un periodo base de $2\pi$)

Desplazamiento horizontal (traslación): $d$. El gráfico se desplaza a la izquierda si $(- d)$ es positivo, y a la derecha si $(- d)$ es negativo.

Asíntotas verticales de la tangente: Ocurren en los ceros del coseno, dados por:

$$ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Asíntotas verticales de la cotangente: Ocurren en los ceros del seno, dados por:

$$ x = k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Identidades: Para entender las propiedades clave de estas funciones, recuerda las identidades de cociente:

$$ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \quad \text{y} \quad y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

Todos los ceros de $\sin(x)$ corresponden a ceros de $\tan(x)$. Todos los ceros de $\cos(x)$, que aparecen en el denominador, corresponden a asíntotas verticales de $\tan(x)$.

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Todos los ceros de $\cos(x)$ corresponden a ceros de $\cot(x)$. Todos los ceros de $\sin(x)$, que están en el denominador, corresponden a asíntotas verticales de $\cot(x)$.

Realizar el bosquejo de funciones tangente y cotangente: Ejemplos con soluciones detalladas

Ejemplo 1: Graficación de una función tangente transformada

Realiza el bosquejo del gráfico de $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ sobre un periodo.

Solución:

Parámetros de graficación

Rango: $(- \infty , +\infty)$

Periodo: Calcúlalo usando el periodo base de la tangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

Asíntotas verticales: Ocurren donde el interior de la función tangente es igual a las asíntotas base $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$:

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Lo cual se simplifica a:

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: El desplazamiento horizontal debido a $\dfrac{\pi}{2}$ permite reescribir la función factorizando el $2$:

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

Esto significa que el gráfico se desplaza $\dfrac{\pi}{4}$ unidades hacia la izquierda.

Dos pasos para graficar la función $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$:

1) Realiza el bosquejo de $\tan(2x)$ sobre un periodo desde $0$ hasta $\dfrac{\pi}{2}$ (gráfico azul a continuación).

2) Luego, realiza el bosquejo de $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$ trasladando el gráfico anterior $\dfrac{\pi}{4}$ hacia la izquierda (gráfico rojo a continuación), haciendo que el periodo comience en $- \dfrac{\pi}{4}$ y termine en $\dfrac{\pi}{4}$, lo que es un periodo completo de $\dfrac{\pi}{2}$.

Ejemplo 2: Graficación de una función cotangente transformada

Realiza el bosquejo del gráfico de $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ sobre un periodo.

Solución:

Parámetros de graficación

Rango: $(- \infty , +\infty)$

Periodo: Calcúlalo usando el periodo base de la cotangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

Asíntotas verticales: Encontradas al resolver para cuando el interior de la función cotangente es igual a $k\pi$:

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

Lo cual da:

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: El desplazamiento horizontal debido a $- \dfrac{\pi}{4}$ puede identificarse factorizando el $4$:

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

Esto representa un desplazamiento de $\dfrac{\pi}{16}$ unidades hacia la derecha.

Dos pasos para graficar la función $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$:

1) Comienza realizando el bosquejo de $\cot(4x)$ sobre un periodo desde $0$ hasta $\dfrac{\pi}{4}$ (gráfico azul).

2) Luego, realiza el bosquejo de $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$ trasladando el gráfico $\dfrac{\pi}{16}$ hacia la derecha (gráfico rojo a continuación), haciendo que el periodo comience en $\dfrac{\pi}{16}$ y termine en $\dfrac{5\pi}{16}$, lo que es un periodo completo.

Graficar funciones tangente y cotangente

Parámetros de graficación de $y = \tan(x)$ e $y = \cot(x)$

1) $ y = \tan(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} $

2) $ y = \cot(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin(x)} $

Realizar el bosquejo de funciones tangente y cotangente: Ejemplos con soluciones detalladas

Más referencias y enlaces