Graficar funciones tangente y cotangente

Esboza la gráfica de $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

Rango: $(- \infty , +\infty)$

Período: Calcular usando el período base de la tangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{2} $$

Asíntotas verticales: Ocurren donde el interior de la función tangente es igual a las asíntotas base $\dfrac{\pi}{2} + k\pi$:

$$ 2x + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi $$

Lo cual se simplifica a:

$$ 2x = k\pi \implies x = \dfrac{k\pi}{2}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: El desplazamiento horizontal debido a $\dfrac{\pi}{2}$ permite reescribir la función factorizando el $2$:

$$ y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right] $$

Esto significa que la gráfica se desplaza $\dfrac{\pi}{4}$ unidades hacia la izquierda.

Dos pasos para graficar la función $y = \tan\left( 2x + \dfrac{\pi}{2} \right)$:

1) Bosqueja $\tan(2x)$ durante un período desde $0$ hasta $\dfrac{\pi}{2}$ (gráfica azul a continuación).

2) Luego bosqueja $y = \tan \left[ 2 \left( x + \dfrac{\pi}{4} \right) \right]$ trasladando la gráfica anterior $\dfrac{\pi}{4}$ hacia la izquierda (gráfica roja a continuación), haciendo que el período comience en $- \dfrac{\pi}{4}$ y termine en $\dfrac{\pi}{4}$, lo que representa un período completo de $\dfrac{\pi}{2}$.

Esboza la gráfica de $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$ durante un período.

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Solución:

Parámetros de graficación

Rango: $(- \infty , +\infty)$

Período: Calcular usando el período base de la cotangente $\pi$:

$$ \dfrac{\pi}{|k|} = \dfrac{\pi}{4} $$

Asíntotas verticales: Encontradas resolviendo para cuándo el interior de la función cotangente es igual a $k\pi$:

$$ 4x - \dfrac{\pi}{4} = k \pi $$

Lo cual da:

$$ 4x = k\pi + \dfrac{\pi}{4} \implies x = \dfrac{k \pi + \dfrac{\pi}{4}}{4}, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots $$

Desplazamiento horizontal: El desplazamiento horizontal debido a $- \dfrac{\pi}{4}$ puede identificarse factorizando el $4$:

$$ y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right] $$

Esto representa un desplazamiento de $\dfrac{\pi}{16}$ unidades hacia la derecha.

Dos pasos para graficar la función $y = \cot \left( 4x - \dfrac{\pi}{4} \right)$:

1) Comienza bosquejando $\cot(4x)$ durante un período desde $0$ hasta $\dfrac{\pi}{4}$ (gráfica azul).

2) Luego bosqueja $y = \cot \left[ 4 \left( x - \dfrac{\pi}{16} \right) \right]$ trasladando la gráfica $\dfrac{\pi}{16}$ hacia la derecha (gráfica roja a continuación), haciendo que el período comience en $\dfrac{\pi}{16}$ y termine en $\dfrac{5\pi}{16}$, lo cual es un período completo.

Una función cosecante de la forma $y = a \csc(k(x - d))$ tiene un período de $6\pi$. Tiene una asíntota vertical en $x = \pi$, y su mínimo local ocurre en $y = 4$. Asumiendo $a > 0$ y $k > 0$, determina la ecuación de la función.

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Solución:

1. Encontrar $k$: El período es $6\pi$. Dado que $\text{Período} = \frac{2\pi}{k}$ para $k > 0$:
$$ \frac{2\pi}{k} = 6\pi \implies k = \frac{1}{3} $$

2. Encontrar $a$: El mínimo local de una gráfica de cosecante positiva estándar representa el inicio de las formas de "U" que abren hacia arriba. Para $y = a \csc(\dots)$, este valor mínimo es $a$. Por lo tanto, $a = 4$.

3. Encontrar $d$: Una función cosecante estándar $y = \csc(x)$ tiene su primera asíntota positiva en $x=0$, seguida por una exactamente a medio período y otra a un período completo. Dado que nuestra función $y = 4\csc(\frac{1}{3}(x-d))$ tiene un desplazamiento de fase, usemos la condición de asíntota:
El interior de la cosecante debe ser igual a cero para la primera asíntota principal:
$$ \frac{1}{3}(x - d) = 0 \implies x = d $$

Se nos dice que hay una asíntota en $x = \pi$. Si establecemos esto como el desplazamiento primario, entonces $d = \pi$.

Ecuación final:
$$ y = 4 \csc\left(\frac{1}{3}(x - \pi)\right) $$

Indica el factor de amplitud, período, desplazamiento de fase, desplazamiento vertical y rango de la función: $$ y = -2 \sec\left(3x - \frac{\pi}{2}\right) + 1 $$ Luego, encuentra las ecuaciones de sus asíntotas verticales.

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Solución:

1. Forma estándar: Factoriza el 3 para identificar el desplazamiento de fase real.
$$ y = -2 \sec\left[3\left(x - \frac{\pi}{6}\right)\right] + 1 $$

2. Parámetros:
* Factor de amplitud ($|a|$): $2$ (Nota: Las curvas secantes no tienen una "amplitud" real ya que se extienden hasta el infinito, pero el factor de estiramiento es 2, invertido por el signo negativo).
* Período: $\frac{2\pi}{3}$
* Desplazamiento de fase: $\frac{\pi}{6}$ hacia la derecha.
* Desplazamiento vertical: Hacia arriba 1 unidad.
* Rango: Los máximos locales están en $c - |a| = 1 - 2 = -1$. Los mínimos locales están en $c + |a| = 1 + 2 = 3$. Por lo tanto, el rango es $(-\infty, -1] \cup [3, \infty)$.

3. Asíntotas verticales: Iguala el interior de la secante a $\frac{\pi}{2} + n\pi$ (donde $n$ es un entero):
$$ 3x - \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi $$
$$ 3x = \pi + n\pi $$
$$ x = \frac{\pi}{3} + \frac{n\pi}{3} $$