Función Tangente tan x
Definición y Gráfica de la Función Tangente
Consideramos un ángulo \( \theta \) con lado inicial en el eje x positivo (en posición estándar) y lado terminal OM como se muestra a continuación.
La función tangente se define como
\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} \]
A partir de la definición de la tangente, podemos usar las definiciones de \( \sin(\theta) \) y \( \cos(\theta) \) para deducir una relación entre las funciones tan, sin y cos de la siguiente manera:
\[ \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} = \dfrac{y/r}{x/r} = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\]
Observe que
1) \( \tan(\theta+\pi) = \dfrac{\sin(\theta+\pi)}{\cos(\theta+\pi)} = \dfrac{-\sin(\theta)}{-\cos(\theta)}= \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = \tan(\theta)\)
y por lo tanto \( \tan(\theta) \) es una función periódica cuyo periodo es igual a \( \pi \).
2) \( \tan(-\theta) = \dfrac{\sin(-\theta)}{\cos(-\theta)} = \dfrac{-\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = - \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = - \tan(\theta)\)
y por lo tanto \( \tan(\theta) \) es una función impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen de un sistema de coordenadas rectangular.
Ahora usamos un círculo unitario para encontrar \( \sin(\theta)\) y \( \cos(\theta)\) y, por tanto, \( \tan(\theta)\) en un periodo que se extiende desde \( \theta = -\dfrac{\pi}{2} \) hasta \( \theta = +\dfrac{\pi}{2} \).
Sabemos por las funciones seno y coseno que las coordenadas x e y en un círculo unitario nos dan los valores de \( \sin(\theta)\) y \( \cos(\theta)\) como se muestra a continuación.
Ahora coloquemos los valores de los ángulos \( -\dfrac{\pi}{2}, -\dfrac{\pi}{4} , 0 , \dfrac{\pi}{4} , \dfrac{\pi}{2} \) y los valores de \( \cos(\theta) \) y \( \sin(\theta) \) en una tabla como se muestra a continuación.
| \( \theta \) |
\( \cos(\theta) \) |
\( \sin(\theta) \) |
\( \tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}\) |
| \( -\dfrac{\pi}{2} \) |
\( 0 \) |
\( -1 \) |
\( indefinido \) |
| \( -\dfrac{\pi}{4} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( -\dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( -1 \) |
| \( 0 \) |
\( 1 \) |
\( 0 \) |
\( 0 \) |
| \( \dfrac{\pi}{4} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( \dfrac{\sqrt 2}{2} \) |
\( 1 \) |
| \( \dfrac{\pi}{2} \) |
\( 0 \) |
\( 1 \) |
\( indefinido \) |
\( \tan(\theta)\) no está definido en \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \) y \( \theta = - \dfrac{\pi}{2} \); sin embargo, podemos obtener información sobre el comportamiento de \( \tan(\theta)\) cerca de estos valores.
Usamos la calculadora para encontrar valores de \( \tan(\theta)\) a medida que \( \theta \) se acerca a \( \dfrac{\pi}{2} \approx 1.570796327 \) empezando en \( \theta = 1.500000 \).
| \( \theta \) |
\( \tan(\theta) \) |
| \( 1.500000 \) |
\( 14.10141995\) |
| \( 1.550000 \) |
\( 48.07848248 \) |
| \( 1.570000 \) |
\( 1255.765592 \) |
| \( 1.570700 \) |
\( 10381.32742 \) |
| \( 1.570791 \) |
\( 187730.1491 \) |
| \( 1.570796 \) |
\( 3060023.307 \) |
A medida que \( \theta \) se acerca a \( \dfrac{\pi}{2} \) con valores menores que \( \dfrac{\pi}{2} \), \( \tan(\theta) \) se acerca a valores grandes y, por lo tanto, existe una asíntota vertical en \( \theta = \dfrac{\pi}{2} \).
De manera similar, a medida que \( \theta \) se acerca a \( - \dfrac{\pi}{2} \) con valores mayores que \( - \dfrac{\pi}{2} \), \( \tan(\theta) \) se acerca a valores pequeños y, por lo tanto, existe una asíntota vertical en \( \theta = - \dfrac{\pi}{2} \).
| \( \theta \) |
\( \tan(\theta) \) |
| \( - 1.500000 \) |
\( - 14.10141995\) |
| \( - 1.550000 \) |
\( - 48.07848248 \) |
| \( - 1.570000 \) |
\( - 1255.765592 \) |
| \( - 1.570700 \) |
\( - 10381.32742 \) |
| \( - 1.570791 \) |
\( - 187730.1491 \) |
| \( - 1.570796 \) |
\( - 3060023.307 \) |
Usando el concepto de límites, describimos el comportamiento de \( \tan(\theta) \) cuando \( \theta \) se acerca a \( \dfrac{\pi}{2} \) por la izquierda (o con valores menores que \( \dfrac{\pi}{2} \)) de la siguiente manera:
\( \lim_{\theta \to (\dfrac{\pi}{2})^-} \tan(\theta) = +\infty \)
y el comportamiento de \( \tan(\theta) \) cuando \( \theta \) se acerca a \( - \dfrac{\pi}{2} \) por la derecha (o con valores mayores que \( - \dfrac{\pi}{2} \)) de la siguiente manera:
\( \lim_{\theta \to (-\dfrac{\pi}{2})^+} \tan(\theta) = -\infty \)
Ahora usamos un sistema de ejes rectangulares \( (x,y) \) para trazar los puntos en la tabla anterior y aproximar la gráfica de la función tangente tan x como se muestra a continuación.
NOTA
Como estamos acostumbrados a que \( x \) sea la variable de una función, \( x \) en la gráfica toma los valores de \( \theta \) e y toma los valores de \( \tan(\theta) \), lo que se indica como \( y = \tan(x) \).
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Propiedades de tan x
1) tan x tiene un periodo igual a \( \pi \).
2) \( \tan(x) \) tiene asíntotas verticales en todos los valores de \( x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \), siendo \( n \) cualquier entero.
3) El dominio de \( \tan(x) \) es el conjunto de todos los números reales excepto \( x = \dfrac{\pi}{2} + n\pi \), siendo \( n \) cualquier entero.
4) La gráfica de \( \tan(x) \) es simétrica con respecto al origen del sistema de ejes.
5) El rango de \( \tan(x) \) es: \( (-\infty , +\infty) \)
6) \( \tan(x) \) es impar y su gráfica es simétrica con respecto al origen del sistema de ejes.
7) \( \tan(x) \) es creciente en intervalos.
Función Tangente General
La función tangente
\( f(x) = a \tan(b x + c) + d \)
y sus propiedades como gráfica, periodo, desfase y asíntotas se exploran interactivamente cambiando los parámetros a, b, c y d usando una aplicación. Vea la figura a continuación para el panel principal de la aplicación que muestra la gráfica de la función tangente en azul y las asíntotas verticales en rojo.
El periodo de \( f(x) \) es igual a \( \dfrac{\pi}{|b|} \)
El desfase de \( f(x) \) es igual a \( - \dfrac{c}{b} \)
También es posible que desee considerar otro tutorial sobre el círculo unitario trigonométrico.
Una vez que termine el presente tutorial, puede realizar una autoevaluación sobre gráficas trigonométricas.
Tutorial Interactivo sobre la Función Tangente
¿Cómo afectan los 4 coeficientes a, b, c y d a la gráfica de f(x)?
-
Establezca a = 1, b = 1, c = 0 y d = 0. Escriba f(x) y observe el periodo, el desfase y las posiciones de las asíntotas (en rojo) de f(x). Ahora cambie a, ¿cómo afecta esto a la gráfica?
-
Establezca a = 1, c = 0, d = 0 y cambie b. Encuentre el periodo en la gráfica y compárelo con \( \pi/|b| \). ¿Cómo afecta b a la gráfica de f(x)? ¿Cómo afecta a las asíntotas?
-
Establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c empezando desde cero y yendo lentamente hacia valores positivos grandes. Observe el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?, y compárelo con \( -c / b \).
-
Establezca a = 1, b = 1, d = 0 y cambie c empezando desde cero y yendo lentamente hacia valores negativos más pequeños. Observe el desplazamiento, ¿es hacia la izquierda o hacia la derecha?, y compárelo con \( -c / b \).
-
Repita 3 y 4 para b = 2, 3 y 4.
-
Establezca a, b y c con valores distintos de cero y cambie d. ¿Cuál es la dirección del desplazamiento de la gráfica?
-
¿Qué parámetros afectan las posiciones de las asíntotas? Explique algebraicamente.
Más Referencias y Enlaces
Graficando Funciones Tangente. Un tutorial paso a paso sobre graficación y trazado de funciones tangente. Se examinan la gráfica, dominio, rango y asíntotas verticales de estas funciones y otras propiedades.
Derivada de tan(x).
Funciones Trigonométricas.